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《中考数学复习指导：利用“两点之间，线段最短”解最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用“两点之间，线段最短”解最值问题“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用，这里举例说明.一、在对称问题中求最值时的应用基本问题要在小河边修建一个自來水厂，向村庄A、B提供用水(如图1).村庄A、B在小河的同侧，自来水厂应建在什么位置，才能使它到A、B距离之和最短？达到节约水管的目的.图1作法把小河岸看成直线k,找出点A关于直线k的对称点A连结AB交直线后于点C,则点C就是要找的建自来水厂地方.这时，AC+BC最短.证明在直线k上任取异于点C的一点D,连结A
2、D、AD、BD.由对称性得AC=AC,AD=AD,则AC+BC=A，C+BC=ABAD+BD=AD+BD.由“两点之间，线段最短”知AEvAD+BD,所以这时AC+BC最短.这是学习对称的时候的常见的基本问题，其应用极为广泛.例1如图2,四边形ABCD中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使ZAMN周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为()(A)130°(B)120°分析此题符合基本问题模型，要使aamn的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，于是作出点A关于BC和CD的对称点AlA“，则AA“的长就是ZAMN周长的
3、最小值.此时ZAA'M+ZAH=60°,进而得HlZAMN+ZANM=2(ZAA'M+ZA11),即可得出答案.例2如图3,在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3,0B=4,点D为边OB的中点，若点E、F为边0A上的两个动点(点E在点F的左边)，且EF=2,四边形CDEF的周长最小吋，求点E、F的坐标，并求出四边形CDEF周2的最小值.解析如图3,作点D关于x轴的对称点D,把点D沿x轴正方向平移到D”，使DD“=EF=2,连结CD”与OA的交点即为所求的点F.因为DD”〃EF,且DD”=EF,所以四边形EDD“F为平
4、行四边形，由轴对称与平行四边形的性质，可得DE+CF=D'E+CF=DnF+CF二CD”.根据“两点之间线段儀短”，可知DE+CF的和最小.•••0(0,2),.・•.》((),_2),・・.〃〃(2,-2).又C(3,4),・・・直线CD”的解析式为y=6%-14,・・・DE+CF二CD”=/62+l2=y/37,CD=y/U,EF=2,・•・四边形CDEF周长的最小值为2+/13+V57.点评要使四边形CDEF的周长最小，由于CD和EF的长度为定值，就要使DE+CF的和最小，因此要设法把DE、CF转化到同一直线上.由于两定点C、D在两动点E、F所在直线x轴的同旁，且EF的
5、长度为定值，因此需先作出定点D(或定点C)关于两动点E、F所在直线x轴的对称点D,再平移点D到点D”，使点E、F、DD”构成平行四边形，然后根据“两点之间线段最短”，找到动点F所在的位置，从而问题得解.二、在动点问题中求最值时的应用非函数型几何运动最值问题是初中数学中不常见的一类问题，近年却频频出现在各地中考试卷中.解决这类问题虽然只涉及儿何中最基本的知识，但试题常与其他知识综合，形成背景新颖、创意独特的一类问题.例3如图4,在AABC中，AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是()(A)4^2(B
6、)4.75(C)5(D)4.8解析如图4,设动圆的圆心为0,与边AB的切点为D,连结0C、0D,则OD丄AB.由题设可得ZACB是直角，因而可得EF是动圆直径，所以EF=OC+OD.由图4可知，当C、O、D三点在同一直线上时，OC+OD最短，即EF的值最小.此时CD丄AB,故CD=6x8=4.8,选D.例4如图5,ZMON=90°,等边ZABC两点A、B分别在OM、ON上运动，AB=2,点C在ZMON内部，求OC的最大值.图5解析取AB的中点D,连结OD、CD,贝I」OD=-AB=1,CD=V3,2当C、0、D三点在同一直线上时，0C最大.此时，OC=OD+CD=1+Q.点
7、评这两个题目都是非函数型几何运动最值问题，运动比较抽象，很难找到临界值,要找到运动中不变的量，如果考虑到“两点之间，线段最短”，三点在一条直线的特殊情况，问题也就解决了.综上可知，在涉及到求最短距离、最短路线时，首先要想到的是线段公理.若是对称问题，一般是把两点之间的线段最短与轴对称的性质结合起来考虑；若是立体图形，应考虑它的侧面展开图，然后利用线段公理和所学的知识解决问题.
