2020版高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明学案理（含解析）新人教A版选修4_5

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1、第二节　不等式的证明2019考纲考题考情1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：a－b>0⇔a>b。(2)作商法：>1⇔a>b(a>0，b>0)。2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。3．反证法先假设要证的命题不成立，以

2、此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。5．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立。1．a2≥0(a∈R)。2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2

3、ab，2≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2。3．若a，b为正实数，则≥，特别地，＋≥2。4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。一、走进教材1．(选修4－5P23T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________。解析　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)。因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b。答案　M≥N2．(选修

4、4－5P24例3改编)求证：＋<2＋。证明　＋<2＋⇐(＋)2<(2＋)2⇐10＋2<10＋4⇐<2⇐21<24。故原不等式成立。二、走出误区微提醒：①不等式放缩不当致错；②运用柯西不等式不能合理变形。3．设a，b∈(0，＋∞)，且ab－a－b＝1，则有(　　)A．a＋b≥2(＋1)B．a＋b≤＋1C．a＋b<＋1D．a＋b>2(＋1)解析　由已知得a＋b＋1＝ab≤2，故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2＋2或a＋b≤－2＋2(舍去)，即a＋b≥2＋2。(当且仅当a＝b＝＋1时取等号)故选A。答案　A4．已知三个互不相等的正数a，b，c

5、满足abc＝1。试证明：＋＋<＋＋。证明　因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，所以＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋，即＋＋<＋＋。5．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值。解　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为。　考点一　比较法证明不等式　【例1】　(1)当p，q都是正数且p＋q＝1时，试比较(px＋qy)2与px2＋qy2的大小。(2)已知a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab)。解　(1)(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2

6、pqxy－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy。因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p。所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2。因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2。当且仅当x＝y时，不等式中等号成立。(2)＝a·b＝。当a＝b时，＝1；当a>b时，>1，>0，由指数函数的性质知>1，当a1。所以aabb≥(ab)。1．作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断

7、差的符号；(4)下结论。其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负。2．作商比较法证明不等式的步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断与1的大小关系；(4)得出结论。其中“作商”要注意两式的正、负，不能随意作商。【变式训练】　(2019·陕西质检)已知函数f(x)＝

8、2x－1

9、＋

10、x＋1

11、。(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋

12、x＋1

13、的值域为M，若t∈M，证明t2＋1≥＋3t。解　(1)依题意，得f(x)＝所以f(x)≤3⇔或或解得－1≤x≤1，即不等式f(x)≤3的解集为{x

14、

15、－1≤x≤1}。(2)g(x)＝f(x)＋

16、x＋1

17、＝

18、2x－1