2020高考数学大一轮复习不等式选讲2第2讲不等式的证明练习理（含解析）（选修4_5）

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1、第2讲不等式的证明[基础题组练]1．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：＋＋≤＋＋.证明：(1)1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.(2)＋＋＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2＝2，ab＋ac≥2＝2，bc＋ac≥2＝2，相加得＋＋≤＋＋.2．求证：＋＋＋…＋<2.证明：因为<＝－，(n＞1)所以＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.3．(2019·长春市质量检测(一))设不等式

2、

3、x＋1

4、－

5、x－1

6、

7、<

8、2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：>1.解：(1)由已知，令f(x)＝

9、x＋1

10、－

11、x－1

12、＝由

13、f(x)

14、<2得－1

15、－11，只需证

16、1－abc

17、>

18、ab－c

19、，只需证1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证1－a2b2>c2(1－a2b2)，只需证(1－a2b2)(1－c2)>0，由a，b，c∈A，得－10恒成立．综上，>1.4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，

20、f(x)

21、

22、≤1.(1)求证：

23、b

24、≤1；(2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值．解：(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，所以b＝[f(1)－f(－1)]．因为当x∈[－1，1]时，

25、f(x)

26、≤1，所以

27、f(1)

28、≤1，

29、f(－1)

30、≤1，所以

31、b

32、＝

33、f(1)－f(－1)

34、≤[

35、f(1)

36、＋

37、f(－1)

38、]≤1.(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1可得c＝－1，b＝2－a，所以f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.当a＝0时，不满足题意，当a≠0时，函数f(x)图象的对称轴为x＝，即x＝－.因为x∈[－1，1]时，

39、f

40、(x)

41、≤1，即

42、f(－1)

43、≤1，所以

44、2a－3

45、≤1，解得1≤a≤2.所以－≤－≤0，故

46、f

47、＝

48、a＋(2－a)－1

49、≤1.整理得

50、＋1

51、≤1，所以－1≤＋1≤1，所以－2≤≤0，又a＞0，所以≥0，所以＝0，所以a＝2.[综合题组练]1．已知函数f(x)＝

52、x－2

53、.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝

54、x－1

55、＋

56、x－2

57、.因此只要解不等式

58、x－1

59、＋

60、x－2

61、≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当1

62、，原不等式等价于1≤2，即12时，原不等式等价于2x－3≤2，即2

63、ax－2

64、－a

65、x－2

66、＝

67、ax－2

68、＋

69、2a－ax

70、≥

71、ax－2＋2a－ax

72、＝

73、2a－2

74、＝f(2a)，所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立．2．已知函数f(x)＝k－

75、x－3

76、，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)因为f(x)＝k－

77、x－3

78、，所以f(x＋3)≥0等价于

79、x

80、≤k

81、，由

82、x

83、≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．因为f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．因此k＝1.(2)由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数，所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.3．已知函数f(x)＝

84、x－1

85、.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若

86、a

87、<1，

88、b

89、<1，且a≠0，求证：>f.解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝

90、2x－1

91、＋

92、x＋3

93、＝当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x＜时，

94、－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x

95、x≤－或x≥2}．(2)证明：>f等价于f(ab)>

96、a

97、f，即

98、ab－1

99、>

100、a－b

101、.因为

102、a

103、<1，

104、b

105、<1，所以

106、ab－1

107、2－

108、a－b

109、2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以

110、ab－1

111、>

112、a－b

113、.故所证不等式成立．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a

114、)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋