2020版高考数学大一轮复习不等式选讲2第2讲不等式的证明新题培优练文（含解析）新人教A版选修4_5

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1、第2讲不等式的证明[基础题组练]1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.证明：由是3a与3b的等比中项得3a·3b＝3，即a＋b＝1，要证原不等式成立，只需证＋≥4成立，即证＋≥2成立，因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝2，(当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立)，所以＋≥4.2．求证：＋＋＋…＋＜2.证明：因为＜＝－，所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－＜2.3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f(x)＝

2、2x－3

3、＋

4、3x－6

5、.(1)求f(x)<2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤T.解：(

6、1)f(x)＝

7、2x－3

8、＋

9、3x－6

10、＝＝，其图象如图，由图象可知：f(x)<2的解集为.(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，由基本不等式可知≤＝＝，当且仅当a＝b时，“＝”成立，即＋≤1＝T.4．设不等式－2＜

11、x－1

12、－

13、x＋2

14、＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：＜；(2)比较

15、1－4ab

16、与2

17、a－b

18、的大小．解：(1)证明：记f(x)＝

19、x－1

20、－

21、x＋2

22、＝由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，即M＝，所以≤

23、a

24、＋

25、b

26、＜×＋×＝.(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为

27、1－4ab

28、2－4

29、a－b

30、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2

31、)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，故

32、1－4ab

33、2＞4

34、a－b

35、2，即

36、1－4ab

37、＞2

38、a－b

39、.[综合题组练]1．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2.证明：(1)要证2ab＋bc＋ca＋≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即证1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，所以2ab＋bc＋ca＋≤.(2)因为≥，≥，≥，所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝

40、2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f(x)＝

41、2x＋1

42、－

43、2x－4

44、，g(x)＝9＋2x－x2.(1)解不等式f(x)>1；(2)证明：

45、8x－16

46、≥g(x)－2f(x)．解：(1)当x≥2时，f(x)＝2x＋1－(2x－4)＝5>1恒成立，所以x≥2.当－≤x<2时，f(x)＝2x＋1－(4－2x)＝4x－3>1，得x>1，所以11不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：

47、8x－16

48、≥g(x)－2f(x)⇔

49、8x－16

50、＋2f(x)≥g(x)

51、，因为2f(x)＋

52、8x－16

53、＝

54、4x＋2

55、＋

56、4x－8

57、≥

58、(4x＋2)－(4x－8)

59、＝10，当且仅当－≤x≤2时等号成立，所以2f(x)＋

60、8x－16

61、的最小值是10，又g(x)＝－(x－1)2＋10≤10，所以g(x)的最大值是10，当x＝1时等号成立．因为1∈，所以2f(x)＋

62、8x－16

63、≥g(x)，所以

64、8x－16

65、≥g(x)－2f(x)．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f(x)＝m－

66、x－1

67、，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥3.解：(1)由f(x＋

68、2)＋f(x－2)≥0得，

69、x＋1

70、＋

71、x－3

72、≤2m，设g(x)＝

73、x＋1

74、＋

75、x－3

76、，则g(x)＝数形结合可得g(－2)＝g(4)＝6＝2m，得m＝3.(2)证明：由(1)得＋＋＝3.由柯西不等式，得(a＋2b＋3c)≥＝32，所以a＋2b＋3c≥3.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值．(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1

77、)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)