2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明教案文新人教A版.docx

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1、第2讲　不等式的证明一、知识梳理1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．常用结论基本不等式及其推广1．a2≥0(a∈R)．2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2

2、≥(a＋b)2.3．若a，b为正实数，则≥.特别地，＋≥2.4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.二、教材衍化求证：＋<2＋.证明：＋<2＋⇐(＋)2<(2＋)2⇐10＋2<10＋4⇐<2⇐21<24.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×二、易错纠偏不等式放缩不当致错.已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc＝1

3、.试证明：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，所以＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋，即＋＋<＋＋.　　　　　用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a

4、)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．若a，b∈R，ab>0，a2＋b2＝1.求证：＋≥1.证明：＋＝＝＝－2ab.因为a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时

5、等号成立，所以0

6、2x＋1

7、＋

8、2x－1

9、<4的解集为M.(1)求集合M；(2)设实数a∈M，b∉M，证明：

10、ab

11、＋1≤

12、a

13、＋

14、b

15、.解：(1)当x<－时，不等式化为－2x－1＋1－2x<4，即x>－1，所以－1时，不等式化为2x＋1＋2x－1<4，即x<1，所以

16、－1

17、)法一：因为a∈M，b∉M，所以

18、a

19、<1，

20、b

21、≥1.而

22、ab

23、＋1－(

24、a

25、＋

26、b

27、)＝

28、ab

29、＋1－

30、a

31、－

32、b

33、＝(

34、a

35、－1)(

36、b

37、－1)≤0，所以

38、ab

39、＋1≤

40、a

41、＋

42、b

43、.法二：要证

44、ab

45、＋1≤

46、a

47、＋

48、b

49、，只需证

50、a

51、

52、b

53、＋1－

54、a

55、－

56、b

57、≤0，只需证(

58、a

59、－1)(

60、b

61、－1)≤0，因为a∈M，b∉M，所以

62、a

63、<1，

64、b

65、≥1，所以(

66、a

67、－1)(

68、b

69、－1)≤0成立．所以

70、ab

71、＋1≤

72、a

73、＋

74、b

75、成立．　　　　　　放缩法证明不等式(师生共研)若a，b∈R，求证：≤＋.【证明】　当

76、a＋b

77、＝0时，不等式显然成立．当

78、a＋b

79、≠0时，由0＜

80、a＋b

81、≤

82、a

83、＋

84、

85、b

86、⇒≥，所以＝≤＝＝＋≤＋.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如＜，＞，＜，＞上面不等式中k∈N＋，k＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则＜”．[注意]　在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．　设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.证明：由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得≤