2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明高效演练分层突破文新人教A版.docx

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1、第2讲　不等式的证明[基础题组练]1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.证明：由是3a与3b的等比中项得3a·3b＝3，即a＋b＝1，要证原不等式成立，只需证＋≥4成立，即证＋≥2成立，因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝2，(当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立)，所以＋≥4.2．求证：＋＋＋…＋＜2.证明：因为＜＝－，所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－＜2.3．(2020·蚌埠一模)已知函数f(x)＝

2、x

3、＋

4、x－3

5、.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y

6、y＝f(x)}，试比较mn＋

7、4与2(m＋n)的大小．解：(1)f(x)＝

8、x

9、＋

10、x－3

11、＝f(x)－5≥x，即或或解得x≤－或x∈∅或x≥8.所以不等式的解集为∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)．且m≥3，n≥3，所以m－2>0，2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)

12、x－1

13、＋

14、x－m

15、(m>1)，若f(x)>4的解集是{x

16、x<0或x>4}．(1)求m的值；(2)若正实数a，b，c满足

17、＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)因为m>1，所以f(x)＝，作出函数f(x)的图象如图所示，由f(x)>4的解集及函数f(x)的图象得，得m＝3.(2)由(1)知m＝3，从而＋＋＝1，a＋2b＋3c＝(＋＋)(a＋2b＋3c)＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥9，当且仅当a＝3，b＝，c＝1时“＝”成立．5．(2020·原创冲刺卷)已知定义在R上的函数f(x)＝

18、x＋1

19、＋

20、x－2

21、＋(x－1)2的最小值为s.(1)试求s的值；(2)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝s，求证：a2＋b2＋c2≥3.解：(1)f(x)＝

22、x＋1

23、＋

24、x－2

25、

26、＋(x－1)2≥

27、x＋1

28、＋

29、2－x

30、≥

31、(x＋1)＋(2－x)

32、＝3，即f(x)≥3.当且仅当x＝1，且(x＋1)(2－x)≥0，即x＝1时，等号成立，所以f(x)的最小值为3，所以s＝3.(2)证明：由(1)知a＋b＋c＝3.故a2＋b2＋c2＝(a2＋12)＋(b2＋12)＋(c2＋12)－3≥2a＋2b＋2c－3＝2(a＋b＋c)－3＝3(当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立)．6．设不等式－2＜

33、x－1

34、－

35、x＋2

36、＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：＜；(2)比较

37、1－4ab

38、与2

39、a－b

40、的大小．解：(1)证明：记f(x)＝

41、x－1

42、

43、－

44、x＋2

45、＝由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，即M＝，所以≤

46、a

47、＋

48、b

49、＜×＋×＝.(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为

50、1－4ab

51、2－4

52、a－b

53、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，故

54、1－4ab

55、2＞4

56、a－b

57、2，即

58、1－4ab

59、＞2

60、a－b

61、.[综合题组练]1．(2020·江西八所重点中学联考)已知不等式

62、ax－1

63、≤

64、x＋3

65、的解集为{x

66、x≥－1}．(1)求实数a的值；(2)求＋的最大值．解：(1)

67、ax－1

68、≤

69、x＋3

70、的解集为{x

71、x≥－1}，即(1－a2)x2＋(

72、2a＋6)x＋8≥0的解集为{x

73、x≥－1}．当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a2＝0，即a＝±1时，x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，a＝1符合题意．综上，a＝1.(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，当t＝＝4时，(＋)2有最大值，为32.又＋≥0，所以＋的最大值为4.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解：(1)由于[(x－1

74、)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－

75、a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．因此(x－2)2＋(y