2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明分层演练理（含解析）新人教A版选修4_5

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1、第2讲不等式的证明1．(2019·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)＝

2、x－2

3、.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝

4、x－1

5、＋

6、x－2

7、.因此只要解不等式

8、x－1

9、＋

10、x－2

11、≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当12时，原不等式等价于2x－3≤2，即2

12、ax－

13、2

14、－a

15、x－2

16、＝

17、ax－2

18、＋

19、2a－ax

20、≥

21、ax－2＋2a－ax

22、＝

23、2a－2

24、＝f(2a)，所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立．2．求证：＋＋＋…＋<2.证明：因为<＝－，所以＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，

25、f(x)

26、≤1.(1)求证：

27、b

28、≤1；(2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值．解：(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，所以b＝[f(1)－f(－1)]．因为当x∈

29、[－1，1]时，

30、f(x)

31、≤1，所以

32、f(1)

33、≤1，

34、f(－1)

35、≤1，所以

36、b

37、＝

38、f(1)－f(－1)

39、≤[

40、f(1)

41、＋

42、f(－1)

43、]≤1.(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1可得c＝－1，b＝2－a，所以f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.当a＝0时，不满足题意，当a≠0时，函数f(x)图象的对称轴为x＝，即x＝－.因为x∈[－1，1]时，

44、f(x)

45、≤1，即

46、f(－1)

47、≤1，所以

48、2a－3

49、≤1，解得1≤a≤2.所以－≤－≤0，故

50、f

51、＝

52、a＋(2－a)－1

53、≤1.整理得

54、＋1

55、≤1，所以－1≤＋1≤1，所以－

56、2≤≤0，又a＞0，所以≥0，所以＝0，所以a＝2.4．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2.证明：(1)要证2ab＋bc＋ca＋≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即证1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，所以2ab＋bc＋ca＋≤.(2)因为≥，≥，≥，所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2(当且仅当a＝b

57、＝c＝时，等号成立)．5．已知函数f(x)＝

58、x－1

59、.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；(2)若

60、a

61、<1，

62、b

63、<1，且a≠0，求证：f(ab)>

64、a

65、f.解：(1)f(x)＋f(x＋4)＝

66、x－1

67、＋

68、x＋3

69、＝当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，4≥8不成立；当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x

70、x≤－5或x≥3}．(2)证明：f(ab)>

71、a

72、f，即

73、ab－1

74、>

75、a－b

76、.因为

77、a

78、<1，

79、b

80、<1，所以

81、ab－1

82、2－

83、a－b

84、

85、2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以

86、ab－1

87、>

88、a－b

89、.故所证不等式成立．1．(2019·武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)＝

90、x－2

91、＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.解：(1)由已知，得f(x)＝当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x

92、x≤0}．(2)证明：当x∈M时，f(

93、x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－＋.令g(x)＝－＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，所以g(x)≤g(0)＝0.故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.2．(2019·沈阳模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥.(2)＋＋≥(＋＋)．证明：(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.而ab＋bc＋ca＝1，故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab

94、＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)＋＋＝.在(1)中已证a＋b＋c≥.因此要证原不等式成立，只需证明≥＋