2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第3讲柯西不等式与排序不等式分层演练理（含解析）新人教A版

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1、第3讲柯西不等式与排序不等式1．设a，b∈R＋且a＋b＝1，求证：＋≥.证明：因为(12＋12)[＋]≥＝＝≥25.所以＋≥.2．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．解：因为(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥＝18.所以＋＋≥2.当且仅当a＝b＝c时取等号，所以＋＋的最小值为2.3．已知x，y，z均为实数．若x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤3.证明：因为(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.所以＋＋≤3.当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号．4．已知函数f(x)＝2

2、x＋1

3、＋

4、x－2

5、.(1)求f(x)的最小值

6、m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3，6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，因为＋＋＋(a＋b＋c)＝＋＋≥2＝2(a＋b＋c)．(当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”)所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.5．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．

7、(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.解：(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.(2)证明：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．所以(ax1＋bx2)·(ax2＋bx1)≥x1x2.1．设a1，a2，

8、…，an是1，2，…，n(n≥2，n∈N*)的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1>…>，且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.故原不等式成立．2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝

9、x＋a

10、＋

11、x－b

12、＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)

13、因为f(x)＝

14、x＋a

15、＋

16、x－b

17、＋c≥

18、(x＋a)－(x－b)

19、＋c＝

20、a＋b

21、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以

22、a＋b

23、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(×2＋×3＋c×1)2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.3．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝4－

24、x

25、－

26、x－3

27、.(1)求不等式f≥0的解集；(2)若p，

28、q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．解：(1)由f＝4－－≥0，得＋≤4.当x<－时，－x－－x＋≤4，解得x≥－2，所以－2≤x<－；当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立，所以－≤x≤；当x>时，x＋＋x－≤4，解得x≤2，所以