（通用版）2019版高考数学一轮复习 不等式选讲 3 第3讲 柯西不等式与排序不等式教案 理

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1、第3讲　柯西不等式与排序不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)·≥

2、ac＋bd

3、，·≥

4、ac

5、＋

6、bd

7、．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则

8、α·β

9、≤

10、α

11、

12、β

13、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥．(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥．2

14、．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2

15、＝…＝bn时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．解：因为6＝x＋2y＋3z≤·，所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2有最小值.设a1，a2，b1，b2为实数，求证：＋≥.证明：(＋)2＝a＋a＋2＋b＋b≥a＋a＋2

16、a1b1＋a2b2

17、＋b＋b≥a＋a－2(a1b1＋a2b2)＋b＋b＝(a－2a1b1＋b)＋(a－2a2b2＋b)＝(a1－b1)2＋(a2－b2)2，所以＋≥.已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.若不等

18、式

19、x－1

20、＋

21、x＋1

22、≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．解：由柯西不等式得(a－b＋c)2≤[12＋(－1)2＋12](a2＋b2＋c2)＝3.若不等式

23、x－1

24、＋

25、x＋1

26、≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，则

27、x－1

28、＋

29、x＋1

30、≥3.即实数x的取值范围为∪.已知a，b为正数，求证：＋≥.证明：因为a>0，b>0，所以由柯西不等式，得(a＋b)＝[()2＋()2]·≥＝9，当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥.柯西不等式的证明[典例引领]若a，b，c，d都是实数，求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥

31、(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．【证明】　因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证

32、α·β

33、≤

34、α

35、

36、β

37、，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．证明：如图，设在平面直角坐标系xOy

38、中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝

39、α

40、

41、β

42、cosθ，所以

43、α·β

44、＝

45、α

46、

47、β

48、

49、cosθ

50、.因为

51、cosθ

52、≤1，所以

53、α·β

54、≤

55、α

56、

57、β

58、.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当

59、cosθ

60、＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.证明：设A(x1，y1)，

61、B(x2，y2)，C(x3，y3)．由

62、CA

63、＋

64、CB

65、≥

66、BA

67、与两点间的距离公式得＋≥.当且仅当点C位于线段BA上时取等号．　若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.证明：因＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，故由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥＝9.利用柯西不等式求最值[典例引领]已知正实数u，v，w满足u2＋v2＋w2＝8，求＋＋的最小值．【解】　因为u2＋v2＋w2＝8.所以82＝(u2＋v2＋w2)2＝≤(9＋16＋25)，所以＋＋≥＝.当且仅当÷3＝÷4＝÷5，即u＝，v＝，w＝2时取到“＝”，所以

68、当u＝，v＝，w＝2时＋＋的最小值为.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意