第42讲 柯西不等式及排序不等式及应用

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1、2013年高考第一轮复习资—理科数学第42讲柯西不等式与排序不等式及应用【考点解读】1.认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题；2.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.【知识扫描】1.柯西（Cauchy）不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）2.排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有···+(同序和)+···+(乱序和)+···+(反序和)当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.

2、【考计点拔】牛刀小试：.5．已知，求的最小值。参考答案：1．A2、B3．34．5．52013年高考第一轮复习资—理科数学5．（凑配法）【典例解析】柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：考点一：证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点及直线设点p是直线上的任意一点，则（1）（2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得：即（3）当且仅当（3）式取等号即点到直线的距离公式即考点二：证明不等式例2：

3、已知正数满足证明证明：利用柯西不等式52013年高考第一轮复习资—理科数学又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故考点三：解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。考点四：求最值例4：已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有即52013年高考第一轮复习资—理科数学由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时考点五：利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：由柯西不等式，得①又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得【变式训练1】已

4、知求证：。证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，52013年高考第一轮复习资—理科数学于是【变式训练2】解方程【解析】：=由柯西不等式知即当上式取等号时有成立，即（无实根）或，即，经检验，原方程的根为5