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时间:2020-04-29
《2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明练习理北师大版.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲不等式的证明[基础题组练]1.(2020·南阳模拟)已知函数f(x)=
2、2x-1
3、+
4、x+1
5、.(1)解不等式f(x)≤3;(2)记函数g(x)=f(x)+
6、x+1
7、的值域为M,若t∈M,证明:t2+1≥+3t.解:(1)依题意,得f(x)于是f(x)≤3⇔或或解得-1≤x≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x
8、-1≤x≤1}.(2)证明:g(x)=f(x)+
9、x+1
10、=
11、2x-1
12、+
13、2x+2
14、≥
15、2x-1-2x-2
16、=3,当且仅当(2x-1)(2x+2)≤0时,取等号,所以M=[3,+∞).要证t2+1≥+3t,即证t2-3t+1-≥0.而t2-3t+1-==.因为
17、t∈M,所以t-3≥0,t2+1>0,所以≥0.所以t2+1≥+3t.2.(2020·榆林模拟)已知函数f(x)=
18、x+1
19、+
20、x-1
21、.(1)求函数f(x)的最小值a;(2)根据(1)中的结论,若m3+n3=a,且m>0,n>0,求证:m+n≤2.解:(1)f(x)=
22、x+1
23、+
24、x-1
25、≥
26、x+1-(x-1)
27、=2,当且仅当(x+1)(x-1)≤0即-1≤x≤1时取等号,所以f(x)min=2,即a=2.(2)证明:假设m+n>2,则m>2-n,m3>(2-n)3.所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)2≥2.①由(1)知a=2,所以m3+n3=2.②①②矛
28、盾,所以m+n≤2.3.(2020·宣城模拟)已知函数f(x)=
29、2x+1
30、+
31、x-2
32、,集合A={x
33、f(x)<3}.(1)求集合A;(2)若实数s,t∈A,求证:<.解:(1)函数f(x)=
34、2x+1
35、+
36、x-2
37、=首先画出y=f(x)与y=3的图象如图所示.可得不等式f(x)<3的解集A=.(2)证明:因为实数s,t∈A,所以s,t∈.所以-=1+-t2-=(1-t2)·(s2-1)<0,所以<,所以<.4.(2020·重庆模拟)已知关于x的不等式
38、2x
39、+
40、2x-1
41、≤m有解.(1)求实数m的取值范围;(2)已知a>0,b>0,a+b=m,证明:+≥.解:(1)
42、2x
43、
44、+
45、2x-1
46、≥
47、2x-(2x-1)
48、=1,当且仅当2x(2x-1)≤0即0≤x≤时取等号,故m≥1.所以实数m的取值范围为[1,+∞).(2)证明:由题知a+b≥1,又(a+2b+2a+b)≥(a+b)2,所以+≥(a+b)≥.[综合题组练]1.设不等式
49、
50、x+1
51、-
52、x-1
53、
54、<2的解集为A.(1)求集合A;(2)若a,b,c∈A,求证:>1.解:(1)由已知,令f(x)=
55、x+1
56、-
57、x-1
58、=由
59、f(x)
60、<2得-161、-11,只需证62、1-abc63、>64、ab-c65、,只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1-a2b66、2>c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,由a,b,c∈A,得-10恒成立.综上,>1.2.已知函数f(x)=k-67、x-368、,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].(1)求k的值;(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.解:(1)因为f(x)=k-69、x-370、,所以f(x+3)≥0等价于71、x72、≤k,由73、x74、≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k].因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1].因此k=1.(2)证明:由(1)知++=1,因为a,b,c为正实数,所以a+75、2b+3c=(a+2b+3c)=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=2b=3c时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1]时,76、f(x)77、≤1.(1)求证:78、b79、≤1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.解:(1)证明:由题意知f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,所以b=[f(1)-f(-1)].因为当x∈[-1,1]时,80、f(x)81、≤1,所以82、f(1)83、≤1,84、f(-1)85、≤1,所以86、b87、=88、f(1)-f(-1)89、≤[90、f(1)91、+92、f(-1)93、]≤1.(294、)由f(0)=-1,f(1)=1可得c=-1,b=2-a,所以f(x)=ax2+(2-a)x-1.当a=0时,不满足题意,当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为x=,即x=-.因为x∈[-1,1]时,95、f(x)96、≤1,即97、f(-1)98、≤1,所以99、2a-3100、≤1,解得1≤a≤2.所以-≤-≤0,故101、f102、=103、a+(2-a)-1104、≤1.整理得105、+1106、≤1,所以-1≤+1≤1,所以-2≤≤0,又a>0,所以≥0,所以=0,所以a=2.4.(2019·高考全国卷Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x
61、-11,只需证
62、1-abc
63、>
64、ab-c
65、,只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1-a2b
66、2>c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,由a,b,c∈A,得-10恒成立.综上,>1.2.已知函数f(x)=k-
67、x-3
68、,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].(1)求k的值;(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.解:(1)因为f(x)=k-
69、x-3
70、,所以f(x+3)≥0等价于
71、x
72、≤k,由
73、x
74、≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k].因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1].因此k=1.(2)证明:由(1)知++=1,因为a,b,c为正实数,所以a+
75、2b+3c=(a+2b+3c)=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=2b=3c时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1]时,
76、f(x)
77、≤1.(1)求证:
78、b
79、≤1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.解:(1)证明:由题意知f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,所以b=[f(1)-f(-1)].因为当x∈[-1,1]时,
80、f(x)
81、≤1,所以
82、f(1)
83、≤1,
84、f(-1)
85、≤1,所以
86、b
87、=
88、f(1)-f(-1)
89、≤[
90、f(1)
91、+
92、f(-1)
93、]≤1.(2
94、)由f(0)=-1,f(1)=1可得c=-1,b=2-a,所以f(x)=ax2+(2-a)x-1.当a=0时,不满足题意,当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为x=,即x=-.因为x∈[-1,1]时,
95、f(x)
96、≤1,即
97、f(-1)
98、≤1,所以
99、2a-3
100、≤1,解得1≤a≤2.所以-≤-≤0,故
101、f
102、=
103、a+(2-a)-1
104、≤1.整理得
105、+1
106、≤1,所以-1≤+1≤1,所以-2≤≤0,又a>0,所以≥0,所以=0,所以a=2.4.(2019·高考全国卷Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x
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