2018届高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第二节不等式的证明学案文选修4_5

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1、1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法．2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．知识点一　不等式证明的常见方法1．综合法：从命题的已知条件出发，利用________、已知的______及______，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的________，利用已知的一些______，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或______________)．3．反证法：首先假设要证明的命题是________，然后利用______，已有的______、______，逐步

2、分析，得到和____________(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论________，从而原来的结论正确．4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当____(或______)使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值______，反之，把分母缩小，则分式的值______．答案1．公理　定义　定理2．充分条件　定理　一个明显的事实3．不正确的　公理　定义　定理　命题的条件　不成立4．放大　缩小　缩小　放大1．判断正误(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．(

3、　　)(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)答案：(1)×　(2)√2．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________．-6-解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.答案：n≥m3．已知a，b为正数，求证：＋≥.证明：∵a>0，b>0，∴(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.∴＋≥.知识点二　柯西不等式1．设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．2．若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ib

4、i)2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．3．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

5、α

6、

7、β

8、≥

9、α·β

10、，当且仅当α，β共线时等号成立．4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值是________．解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案：5．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．解析：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b

11、＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.答案：热点一　比较法证明不等式【例1】　设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．-6-【证明】　因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(a－b)(a－b)，因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，所以a2＋b2≥(a＋b).【总结反思】比较法证明不等式的一般步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”的关键，通常将差变形

12、成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.设不等式

13、2x－1

14、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由

15、2x－1

16、<1，得－1<2x－1<1，解得0

17、00，故ab＋1>a＋b.热点二　分析法、综合法证明不等式【例2】　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.【证明

18、】　(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3.(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.【总结反思】-6-用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是

19、“执果索因