统考版2022届高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第二节不等式的证明学案理含解析.docx

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1、高考第二节　不等式的证明【知识重温】一、必记2个知识点1．比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔a－b>0a0，>1⇒a>bb<0，>1⇒a

2、合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法高考证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．二、必明2个易误点1．用分析法证明不等式一定要注意格式规X．2．运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．用综合法、分析法证明不等式[互动讲练型][例1]　[2020·全国卷Ⅲ]设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b

3、，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.高考悟·技法　用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.[变式练]——(着眼于举一反三)1．设不等式

4、

5、x＋1

6、－

7、x－1

8、

9、＜2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：＞1.高考考点二　反证法证明不等式[互动讲练型]

10、[例2]　若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：＜2和＜2中至少有一个成立．高考悟·技法利用反证法证明问题的一般步骤　(1)否定原结论；(2)从假设出发，导出矛盾；(3)证明原命题正确.[变式练]——(着眼于举一反三)2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a，b，c＞0.高考考点三　放缩法证明不等式[互动讲练型][例3]　若a，b∈R，求证：≤＋.悟·技法　在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧，常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如＜，＞，＜，＞.上面不等式中k∈N*，k＞1.(2)利用函数的单调性．高考(

11、3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则＜”．注意：在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.[变式练]——(着眼于举一反三)3．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1.第二节　不等式的证明课堂考点突破考点一例1　解析：(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－(a2＋b2＋c2)＜0.(2)不妨设max{a，b，c}＝a，高考因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a＞0，b＜0，c＜0.由bc≤，可得abc≤，故a≥，所以max{a，b，c}≥.变式练1．解析：(1)由已知，令f(x

12、)＝

13、x＋1

14、－

15、x－1

16、＝由

17、f(x)

18、＜2得－1＜x＜1，即A＝{x

19、－1＜x＜1}．(2)要证＞1，只需证

20、1－abc

21、＞

22、ab－c

23、，只需证1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，只需证1－a2b2＞c2(1－a2b2)，只需证(1－a2b2)(1－c2)＞0，由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立，综上，＞1.考点二例2　证明：假设＜2和＜2都不成立，则有≥2和≥2同时成立．因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x.两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知条件x＋y＞2矛

24、盾，因此＜2和＜2中至少有一个成立．变式练高考2．证明：(1)设a＜0，因为abc＞0，所以bc＜0.又由a＋b＋c＞0，则b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，与题设矛盾．(2)若a＝0，则与abc＞0矛盾，所以必有a＞0.同理可证：b＞0，c＞0.综上可证a，b，c＞0.考点三例3　证明：当

25、a＋b

26、＝0时，不等式显然成立．当

27、a＋b

28、≠0时，由0＜

29、a＋b

30、≤

31、a

32、＋

33、b

34、⇒≥，所以＝≤＝＝＋≤＋.变式练3．证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.高考当k＝1时，≤＜；当k＝2时，≤＜；…当k＝n时，≤＜，∴

35、＝≤＋＋…＋＜＝1.所以原不等式成立．