2021高考数学一轮复习统考选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明学案含解析北师大版选修4_5.doc

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1、第2讲　不等式的证明基础知识整合1．比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔a－b>0a0，>1⇒a>bb<0，>1⇒a

2、做综合法．综合法又叫由因导果法．3．分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．4．反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．

3、5．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．6．平均值不等式11如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．7．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式定理1　若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)柯西不等式的向量形式定理2　设α，β是两个向量，则

4、α·β

5、≤

6、α

7、·

8、β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号

10、成立．1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．2．如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．3．高考命题专家说：“放缩是一种能力．”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！1．已知0NC．M＝ND．不确定答案　B解析　由已知得0

11、＋－－＝＋＝>0.故M>N.2．若

12、a－c

13、<

14、b

15、，则下列不等式中正确的是(　　)A．ac－bC．

16、a

17、>

18、b

19、－

20、c

21、D．

22、a

23、<

24、b

25、＋

26、c

27、答案　D解析　

28、a

29、－

30、c

31、≤

32、a－c

33、<

34、b

35、，即

36、a

37、<

38、b

39、＋

40、c

41、.故选D.3．已知a，b，c，d均为正数，S＝＋＋＋11，则一定有(　　)A．0＋＋＋＝1，S<＋＋＋＝2，∴1

42、　)A．至多有一个不大于1B．至少有一个不大于1C．都大于1D．都小于1答案　B解析　设x1≤x2≤x3，则≤1，≤1，≥1.故选B.5．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的取值范围是________．答案　[－2，2]解析　根据柯西不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，可得(3a＋2b)2≤(a2＋b2)(32＋22)∴－2≤3a＋2b≤2.3a＋2b∈[－2，2]．6．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．答案　9解析　解法一：把a＋b＋c＝1代

43、入＋＋，得＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．故＋＋的最小值为9.解法二：由柯西不等式得：11(a＋b＋c)≥2，即＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．故＋＋的最小值为9.核心考向突破考向一　比较法证明不等式例1　(2019·山东潍坊三模)已知函数f(x)＝

44、x－3

45、.(1)解不等式f(2x＋4)≥4；(2)若a，b∈R，

46、a

47、<1，

48、b

49、<1，求证：f(ab＋2)>f(a－b＋3)．解　(1)由f(2x＋4)≥4，得

50、2x＋1

51、≥4，即2x＋1≥4或2x＋1≤－4，解得

52、x≥或x≤－，综上所述，不等式的解集为.(2)证明：f(ab＋2)>f(a－b＋3)⇔

53、ab－1

54、>

55、a－b

56、，因为

57、a

58、<1，

59、b

60、<1，所以a2<1，b2<1，所以

61、ab－1

62、2－

63、a－b

64、2＝a2b2－2ab＋1－a2＋2ab－b2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)>0，所以

65、ab－1

66、2>

67、a－b

68、2，则

69、ab－1

70、>

71、a－b

72、，则f(ab＋2)