2020版高考数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式学案理（含解析）新人教A版选修4_5

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1、第一节　绝对值不等式2019考纲考题考情1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立。定理2：如果a，b，c是实数，那么

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、＋

12、c－b

13、，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立。2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

14、x

15、＜a与

16、x

17、＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0

18、x

19、＜a{x

20、－a＜x＜a}∅∅

21、x

22、＞a{x

23、x＞a或x＜－a}{x

24、x∈R且x≠0}R(2)

25、ax＋b

26、≤c(c＞0)和

27、ax＋b

28、≥

29、c(c＞0)型不等式的解法：①

30、ax＋b

31、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②

32、ax＋b

33、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。1．

34、a＋b

35、与

36、a

37、－

38、b

39、，

40、a－b

41、与

42、a

43、－

44、b

45、，

46、a

47、＋

48、b

49、之间的关系：(1)

50、a＋b

51、≥

52、a

53、－

54、b

55、，当且仅当ab≤0且

56、a

57、≥

58、b

59、时，等号成立。(2)

60、a

61、－

62、b

63、≤

64、a－b

65、≤

66、a

67、＋

68、b

69、，当且仅当

70、a

71、≥

72、b

73、且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立。2．解绝对值不等式的两个要点：(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号。(2)解含

74、绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”。一、走进教材1．(选修4－5P20T7改编)不等式3≤

75、5－2x

76、<9的解集为(　　)A．[－2,1)∪[4,7)B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1)∪[4,7)D．(－2,1]∪[4,7)解析　由题意得即解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)。故选D。答案　D2．(选修4－5P20T8改编)不等式

77、x－1

78、－

79、x－5

80、<2的解集是________。解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，

81、所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；②当1

82、x<4}。答案　{x

83、x<4}二、走出误区微提醒：①含参数的绝对值不等式讨论不清；②存在性问题不能转化为最值问题求解。3．若不等式

84、kx－4

85、≤2的解集为{x

86、1≤x≤3}，则实数k＝________。解析　因为

87、kx－4

88、≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6。因为不等式

89、的解集为{x

90、1≤x≤3}，所以k＝2。答案　24．若关于x的不等式

91、a

92、≥

93、x＋1

94、＋

95、x－2

96、存在实数解，则实数a的取值范围是________。解析　由于

97、x＋1

98、＋

99、x－2

100、≥

101、(x＋1)－(x－2)

102、＝3，所以

103、x＋1

104、＋

105、x－2

106、的最小值为3。要使原不等式有解，只需

107、a

108、≥3，则a≥3或a≤－3。答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)考点一　含绝对值的不等式的解法　　　　　　　　　　　　　　【例1】　(2019·淄博模拟)设函数f(x)＝

109、x＋4

110、。(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)

111、的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1－x的解集。解　(1)因为f(x)＝

112、x＋4

113、，所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝

114、2x＋a＋4

115、＋

116、2x－a＋4

117、≥

118、2x＋a＋4－(2x－a＋4)

119、＝

120、2a

121、，又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，所以

122、2a

123、＝4，所以a＝±2。(2)f(x)＝

124、x＋4

125、＝所以不等式f(x)>1－x等价于解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－x的解集为{x

126、x>－2或x<－10}。含绝对值不等式常见的三种解法1．零点分段讨论法。2．

127、利用绝对值的几何意义。3．数形结合法。【变式训练】　(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝

128、x－4

129、＋

130、x－1

131、－3。(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围。解　(1)由f(x)≤2，得或或解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为{x

132、0≤x≤5}。(2)f(x)＝

133、x－4

134、＋

135、x－1

136、－3＝作出函数f(x)的图象，如图所示，易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，当此直线经过点B(4,0)时，k＝；当此直线与直线AD平行

137、时，k＝－2。故由图可知，k∈(－∞，－2)∪。考点二绝对值不等式性质的应用【例2】　(1)若对于实数x，y有

138、1－x

139、≤2，

140、y＋1

141、≤1，求

142、2x＋3y＋1

143、的最大值。(2)若a≥2，x∈R，证明：

144、x－1＋a

145、＋

146、x－a

147、≥3。解　(1)由

148、2x＋3y＋1

149、＝

150、2(x－1)＋3(y＋1)

151、≤2

152、x－1

153、＋3

154、y＋1

155、≤7，得

156、2x＋3y＋1

157、的最大值为7。(2)证明：因为

158、x－1＋a

159、＋

160、x－a

161、≥

162、(x－1＋a)－(x－a)

163、＝

164、2a－1

165、，又a≥2，故

166、2a－1

167、≥3，即