2020版高考数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式学案文（含解析）新人教A版

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1、第一节　绝对值不等式2019考纲考题考情1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立。定理2：如果a，b，c是实数，那么

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、＋

12、c－b

13、，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立。2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

14、x

15、＜a与

16、x

17、＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0

18、x

19、＜a{x

20、－a＜x＜a}∅∅

21、x

22、＞a{x

23、x＞a或x＜－a}{x

24、x∈R且x≠0}R(2)

25、ax＋b

26、≤c(c＞0)和

27、ax＋b

28、≥c(c＞0)型不等式的解法：①

29、ax＋b

30、≤c⇔－c≤ax＋b≤c

31、；②

32、ax＋b

33、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。1．

34、a＋b

35、与

36、a

37、－

38、b

39、，

40、a－b

41、与

42、a

43、－

44、b

45、，

46、a

47、＋

48、b

49、之间的关系：(1)

50、a＋b

51、≥

52、a

53、－

54、b

55、，当且仅当ab≤0且

56、a

57、≥

58、b

59、时，等号成立。(2)

60、a

61、－

62、b

63、≤

64、a－b

65、≤

66、a

67、＋

68、b

69、，当且仅当

70、a

71、≥

72、b

73、且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立。2．解绝对值不等式的两个要点：(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号。(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”。一、走进教材1．(选修4－5P20T7改编)不等式3≤

74、

75、5－2x

76、<9的解集为(　　)A．[－2,1)∪[4,7)B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1)∪[4,7)D．(－2,1]∪[4,7)解析　由题意得即解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)。故选D。答案　D2．(选修4－5P20T8改编)不等式

77、x－1

78、－

79、x－5

80、<2的解集是________。解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；②当1

81、原不等式的解集为{x

82、x<4}。答案　{x

83、x<4}二、走出误区微提醒：①含参数的绝对值不等式讨论不清；②存在性问题不能转化为最值问题求解。3．若不等式

84、kx－4

85、≤2的解集为{x

86、1≤x≤3}，则实数k＝________。解析　因为

87、kx－4

88、≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6。因为不等式的解集为{x

89、1≤x≤3}，所以k＝2。答案　24．若关于x的不等式

90、a

91、≥

92、x＋1

93、＋

94、x－2

95、存在实数解，则实数a的取值范围是________。解析　由于

96、x＋1

97、＋

98、x－2

99、≥

100、(x＋1)－(x－2)

101、＝3，所以

102、x＋1

103、＋

104、x－2

105、的最小值为3。要使原不等

106、式有解，只需

107、a

108、≥3，则a≥3或a≤－3。答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)考点一含绝对值的不等式的解法【例1】　(2019·淄博模拟)设函数f(x)＝

109、x＋4

110、。(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1－x的解集。解　(1)因为f(x)＝

111、x＋4

112、，所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝

113、2x＋a＋4

114、＋

115、2x－a＋4

116、≥

117、2x＋a＋4－(2x－a＋4)

118、＝

119、2a

120、，又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，所以

121、2a

122、＝4，所以a＝±2。(2)f(x)＝

123、x＋4

124、＝所以不等式f(x)>1－x等价

125、于解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－x的解集为{x

126、x>－2或x<－10}。含绝对值不等式常见的三种解法1．零点分段讨论法。2．利用绝对值的几何意义。3．数形结合法。【变式训练】　已知函数f(x)＝

127、x－4

128、＋

129、x－1

130、－3。(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围。解　(1)由f(x)≤2，得或或解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为{x

131、0≤x≤5}。(2)f(x)＝

132、x－4

133、＋

134、x－1

135、－3＝作出函数f(x)的图象，如图所示，易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，当此直线

136、经过点B(4,0)时，k＝；当此直线与直线AD平行时，k＝－2。故由图可知，k∈(－∞，－2)∪。考点二绝对值不等式性质的应用【例2】　(1)若对于实数x，y有

137、1－x

138、≤2，

139、y＋1

140、≤1，求

141、2x＋3y＋1

142、的最大值。(2)若a≥2，x∈R，证明：

143、x－1＋a

144、＋

145、x－a

146、≥3。解　(1)由

147、2x＋3y＋1

148、＝

149、2(x－1)＋3(y＋1)

150、≤2

151、x－1

152、＋3

153、y＋1

154、≤7，得

155、2x＋3y＋1

156、的最大值为7。(2)证明：因为

157、x－1＋a

158、＋

159、x－a

160、≥

161、(x－1＋a)－(x－a)

162、＝

163、2a－1

164、，又a≥2，故

165、2a－1

166、≥3，即

167、x－1＋a

168、＋

169、x－a

170、≥3成

171、立。绝对值不等式性质的应