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《高考数学复习不等式选讲第1节绝对值不等式学案文新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1节 绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:
2、a+b
3、≤
4、a
5、+
6、b
7、(a,b∈R);
8、a-b
9、≤
10、a-c
11、+
12、c-b
13、(a,b∈R);2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
14、ax+b
15、≤c;
16、ax+b
17、≥c;
18、x-c
19、+
20、x-b
21、≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式
22、x
23、24、x25、>a的解集不等式a>0a=0a<026、x27、28、x29、>a(-∞,-a)∪(a,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)R(2)30、ax+b31、≤c(c>0)和32、ax+b33、≥c(c>034、)型不等式的解法①35、ax+b36、≤c⇔-c≤ax+b≤c;②37、ax+b38、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;(3)39、x-a40、+41、x-b42、≥c(c>0)和43、x-a44、+45、x-b46、≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a,b是实数,则47、a+b48、≤49、a50、+51、b52、,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么53、a-c54、≤55、a-b56、+57、b-c58、,当且仅当(a-b59、)(b-c)≥0时,等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若60、x61、>c的解集为R,则c≤0.( )(2)不等式62、x-163、+64、x+265、<2的解集为∅.( )(3)对66、a+b67、≥68、a69、-70、b71、当且仅当a>b>0时等号成立.( )(4)对72、a73、-74、b75、≤76、a-b77、当且仅当78、a79、≥80、b81、时等号成立.( )(5)对82、a-b83、≤84、a85、+86、b87、当且仅当ab≤0时等号成立.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.不等式88、x-189、-90、x-591、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(92、1,5)解析 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.②当193、a94、≥95、x+196、+97、x-298、存在实数解,则实数a的取值范围是________.解析 由于99、x+1100、+101、x-2102、≥103、(x+1)-(x-2)104、=3,∴105、x+1106、+107、x-2108、的最小值为3.要使原不等式有解,只需109、a110、≥111、3,则a≥3或a≤-3.答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)4.若不等式112、kx-4113、≤2的解集为{x114、1≤x≤3},则实数k=________.解析 ∵115、kx-4116、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x117、1≤x≤3},∴k=2.答案 25.(2016·江苏卷)设a>0,118、x-1119、<,120、y-2121、<,求证:122、2x+y-4123、124、x-1125、<,126、y-2127、<,所以128、2x+y-4129、=130、2(x-1)+(y-2)131、≤2132、x-1133、+134、y-2135、<+=a.故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1-1】(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f136、(x)=137、x+1138、-139、2x-3140、.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式141、f(x)142、>1的解集.解 (1)f(x)=故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x143、1144、f(x)145、>1的解集为.【例1-2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=146、x+1147、+148、x-1149、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包150、含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x2+x+4,f(x)≥g(x)⇔x2-x+151、x+1152、+153、x-1154、-4≤0.①当x>1时,f(x)≥g(x)⇔x2+x-4≤0,解之得1155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
24、x
25、>a的解集不等式a>0a=0a<0
26、x
27、28、x29、>a(-∞,-a)∪(a,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)R(2)30、ax+b31、≤c(c>0)和32、ax+b33、≥c(c>034、)型不等式的解法①35、ax+b36、≤c⇔-c≤ax+b≤c;②37、ax+b38、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;(3)39、x-a40、+41、x-b42、≥c(c>0)和43、x-a44、+45、x-b46、≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a,b是实数,则47、a+b48、≤49、a50、+51、b52、,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么53、a-c54、≤55、a-b56、+57、b-c58、,当且仅当(a-b59、)(b-c)≥0时,等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若60、x61、>c的解集为R,则c≤0.( )(2)不等式62、x-163、+64、x+265、<2的解集为∅.( )(3)对66、a+b67、≥68、a69、-70、b71、当且仅当a>b>0时等号成立.( )(4)对72、a73、-74、b75、≤76、a-b77、当且仅当78、a79、≥80、b81、时等号成立.( )(5)对82、a-b83、≤84、a85、+86、b87、当且仅当ab≤0时等号成立.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.不等式88、x-189、-90、x-591、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(92、1,5)解析 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.②当193、a94、≥95、x+196、+97、x-298、存在实数解,则实数a的取值范围是________.解析 由于99、x+1100、+101、x-2102、≥103、(x+1)-(x-2)104、=3,∴105、x+1106、+107、x-2108、的最小值为3.要使原不等式有解,只需109、a110、≥111、3,则a≥3或a≤-3.答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)4.若不等式112、kx-4113、≤2的解集为{x114、1≤x≤3},则实数k=________.解析 ∵115、kx-4116、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x117、1≤x≤3},∴k=2.答案 25.(2016·江苏卷)设a>0,118、x-1119、<,120、y-2121、<,求证:122、2x+y-4123、124、x-1125、<,126、y-2127、<,所以128、2x+y-4129、=130、2(x-1)+(y-2)131、≤2132、x-1133、+134、y-2135、<+=a.故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1-1】(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f136、(x)=137、x+1138、-139、2x-3140、.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式141、f(x)142、>1的解集.解 (1)f(x)=故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x143、1144、f(x)145、>1的解集为.【例1-2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=146、x+1147、+148、x-1149、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包150、含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x2+x+4,f(x)≥g(x)⇔x2-x+151、x+1152、+153、x-1154、-4≤0.①当x>1时,f(x)≥g(x)⇔x2+x-4≤0,解之得1155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
28、x
29、>a(-∞,-a)∪(a,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)R(2)
30、ax+b
31、≤c(c>0)和
32、ax+b
33、≥c(c>0
34、)型不等式的解法①
35、ax+b
36、≤c⇔-c≤ax+b≤c;②
37、ax+b
38、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;(3)
39、x-a
40、+
41、x-b
42、≥c(c>0)和
43、x-a
44、+
45、x-b
46、≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a,b是实数,则
47、a+b
48、≤
49、a
50、+
51、b
52、,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么
53、a-c
54、≤
55、a-b
56、+
57、b-c
58、,当且仅当(a-b
59、)(b-c)≥0时,等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若
60、x
61、>c的解集为R,则c≤0.( )(2)不等式
62、x-1
63、+
64、x+2
65、<2的解集为∅.( )(3)对
66、a+b
67、≥
68、a
69、-
70、b
71、当且仅当a>b>0时等号成立.( )(4)对
72、a
73、-
74、b
75、≤
76、a-b
77、当且仅当
78、a
79、≥
80、b
81、时等号成立.( )(5)对
82、a-b
83、≤
84、a
85、+
86、b
87、当且仅当ab≤0时等号成立.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.不等式
88、x-1
89、-
90、x-5
91、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(
92、1,5)解析 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.②当193、a94、≥95、x+196、+97、x-298、存在实数解,则实数a的取值范围是________.解析 由于99、x+1100、+101、x-2102、≥103、(x+1)-(x-2)104、=3,∴105、x+1106、+107、x-2108、的最小值为3.要使原不等式有解,只需109、a110、≥111、3,则a≥3或a≤-3.答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)4.若不等式112、kx-4113、≤2的解集为{x114、1≤x≤3},则实数k=________.解析 ∵115、kx-4116、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x117、1≤x≤3},∴k=2.答案 25.(2016·江苏卷)设a>0,118、x-1119、<,120、y-2121、<,求证:122、2x+y-4123、124、x-1125、<,126、y-2127、<,所以128、2x+y-4129、=130、2(x-1)+(y-2)131、≤2132、x-1133、+134、y-2135、<+=a.故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1-1】(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f136、(x)=137、x+1138、-139、2x-3140、.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式141、f(x)142、>1的解集.解 (1)f(x)=故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x143、1144、f(x)145、>1的解集为.【例1-2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=146、x+1147、+148、x-1149、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包150、含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x2+x+4,f(x)≥g(x)⇔x2-x+151、x+1152、+153、x-1154、-4≤0.①当x>1时,f(x)≥g(x)⇔x2+x-4≤0,解之得1155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
93、a
94、≥
95、x+1
96、+
97、x-2
98、存在实数解,则实数a的取值范围是________.解析 由于
99、x+1
100、+
101、x-2
102、≥
103、(x+1)-(x-2)
104、=3,∴
105、x+1
106、+
107、x-2
108、的最小值为3.要使原不等式有解,只需
109、a
110、≥
111、3,则a≥3或a≤-3.答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)4.若不等式
112、kx-4
113、≤2的解集为{x
114、1≤x≤3},则实数k=________.解析 ∵
115、kx-4
116、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x
117、1≤x≤3},∴k=2.答案 25.(2016·江苏卷)设a>0,
118、x-1
119、<,
120、y-2
121、<,求证:
122、2x+y-4
123、124、x-1125、<,126、y-2127、<,所以128、2x+y-4129、=130、2(x-1)+(y-2)131、≤2132、x-1133、+134、y-2135、<+=a.故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1-1】(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f136、(x)=137、x+1138、-139、2x-3140、.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式141、f(x)142、>1的解集.解 (1)f(x)=故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x143、1144、f(x)145、>1的解集为.【例1-2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=146、x+1147、+148、x-1149、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包150、含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x2+x+4,f(x)≥g(x)⇔x2-x+151、x+1152、+153、x-1154、-4≤0.①当x>1时,f(x)≥g(x)⇔x2+x-4≤0,解之得1155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
124、x-1
125、<,
126、y-2
127、<,所以
128、2x+y-4
129、=
130、2(x-1)+(y-2)
131、≤2
132、x-1
133、+
134、y-2
135、<+=a.故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1-1】(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f
136、(x)=
137、x+1
138、-
139、2x-3
140、.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式
141、f(x)
142、>1的解集.解 (1)f(x)=故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x
143、1144、f(x)145、>1的解集为.【例1-2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=146、x+1147、+148、x-1149、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包150、含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x2+x+4,f(x)≥g(x)⇔x2-x+151、x+1152、+153、x-1154、-4≤0.①当x>1时,f(x)≥g(x)⇔x2+x-4≤0,解之得1155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
144、f(x)
145、>1的解集为.【例1-2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=
146、x+1
147、+
148、x-1
149、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包
150、含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x2+x+4,f(x)≥g(x)⇔x2-x+
151、x+1
152、+
153、x-1
154、-4≤0.①当x>1时,f(x)≥g(x)⇔x2+x-4≤0,解之得1155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
155、1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的
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