专题4.13 灵活应用勾股定理-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题13灵活应用勾股定理【专题综述】勾股定理作为一个古老并且应用广泛的定理，以其简单优美的形式、深邃丰富的内容，反映了直角三角形中三条边的关系，体现了蕴含在数学中的和谐关系，一直被数学界所重视.因而，在近期的中考考试中是一大考试热点。【方法解读】一、计算问题例1如图　在四边形ABCD中，已知四条边的比AB:BC:CD:DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，则∠DAB的度数　　　　　　.∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°．学~科·网【解读】这道题涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长a,b,c满足a2+

2、b2＝c2　，那么这个三角形是直角三角形．）。【举一反三】（2016春•罗定市期中）一个零件如图所示，已知AC=3厘米,AB=4厘米,BD=12厘米，求CD的长.解：在Rt△ABC中,根据勾股定理知：BC2＝AC2+AB2=32+42=25在Rt△CBD中,根据勾股定理知：CD2＝BC2+BD2=25+122=169∵CD＞0∴CD=13厘米二、最短路径问题[来源:学科网ZXXK]例2（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．1D．故选：B【解读】根据已知得出蚂蚁从盒外的

3、点沿正方形的表面爬到盒内的点，蚂蚁爬行的最短距离是如上图BM的长度，进而利用勾股定理求出．【举一反三】（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？解：展开图如图所示，，三、折叠问题例3如图在长方形ABCD中，AB=5厘米．在CD边上找一点E，沿直线AE把△ABE折叠，若点D恰好落在BC边上点Ｆ处，且△ABF的面积是30平方厘米，求DE的长．[来源:Z§xx§k.Com]由题意，知△AFE≌△AＤＥ∴AD＝AF＝13[来源:学科网]∴BC=13　∴FC＝BC－BF＝13－12＝1设EF＝

4、DE=x则EC=5－x[来源:学科网]在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝EC2+FC2[来∴x2=（5－x）2+12[来解得　　即DE的长是【解读】本题涉及到折叠翻转的知识，需要注意的是在折叠或翻转过程中形成的轴对称关系，然后利用勾股定理，通过设未知数解方程来求解．【举一反三】（2017春•乌鲁木齐期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　　　　　　在Rt△BCF中，由勾股定理得x2=42+（8－x）2从而解得x=5∴Ｓ△ＡＦＣ＝【强化训练】1.如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬

5、行的最短路程是（）cm.A.6B.8C.10D.12【来源】2018人教版八年级数学下册练习：第十七章达标检测卷【答案】C【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开后的图形中，有BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选C．学#科*网[来源:学科网]2.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】A．B．C．D．【来源】2012年初中毕业升学考试（贵州遵义卷）数学（带解析）【答案】B。∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=

6、ED=BM=CM。∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=CF=。∴NG=。∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣。∴BF=2BN=5∴。故选B。3.如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．【来源】北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形同步练习题试题解析：解：连接AC．如图所示：[来源:学

7、科

8、网Z

9、X

10、X

11、K]∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形．又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5．又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122

12、+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD的面积是36．4.如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧，距上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器