专题4.14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题14例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用【专题综述】翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力．一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解，本文通过几道中考题来说明这一解题技巧。【方法解读】一、直接解题例1如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【解读】先构造Rt△FHE，再在Rt△FHE中应用勾股定理求出EF的长。【举一反三】（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，A

2、B=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．解：根据P点的不同位置，此题分两种情况计算：①点P在CD上；②点P在AD上．①点P在CD上时,如图：∵PD=3，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是邻边相等的矩形即正方形，EF过点C，∵BF=BC=6，∴由勾股定理求得EF=；②点P在AD上时，如图：述：EF长为6或2．学@科#网二、间接解题例2如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在

3、A′的位置上．若OB=,,则点A′的坐标．解：∵OB=OB=,,∴BC=1，OC=2设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E∵纸片OABC沿OB折叠∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90°∵BC∥A′E∴OF=2-x∴x2+1=（2-x）2，解得x=∴A′F=，OF=∵A′E=A′F×OA′÷OF=∴OE=∴点A’的坐标为（−，）．学科&网【解读】由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2-x．利用勾股定理可得A′F=，OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′

4、÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐标为（−，）．【举一反三】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．【来源】江苏省徐州市2017年中考信息卷数学试题（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，（2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：C’G＝y，DG＝8－y，DM=AD="4cm"在Rt△C’DG中，∠DC’G＝90°，C’D＝CD＝6，∴即：解得：∴C’G＝cm，D

5、G＝cm又∵△DME∽△DC’G∴，即：解得：,即：EM＝（cm）∴所求的EM长为cm。【强化训练】1.（2017•昌乐县模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，现将纸片折叠压平，使点A与点C重合，折痕为EF，如果sin∠BAE=，那么重叠部分△AEF的面积为（　　）A．B．C．D．【分析】要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代换后，可知AE=AF，问题转化为在Rt△ABE中求AE，即可得出答案．∵AD∥BC，∴∠CEF=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF=，∴S△AEF=×AF

6、×AB=××3=；故选：B．2.（2017•枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）A．2B．C．D．1【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．故选：B．3.（2015•本溪一模）如图，在等边三角形纸片△ABC中，将纸片折叠，点A落在BC边上的点D处，MN为折痕，当DN⊥NC时，CN=1，则A、D两点之间的距离为　　．【分析】首先根据轴对称的性质，可得AN=DN，然后在Rt△NDC中，利用60°角求

7、得DN=，CN=；最后在Rt△ADN中，根据勾股定理，求出AD的长度，即可判断出A、D两点之间的距离为多少．【解答】解：∵DN⊥NC，∴DN=CN•tan60°=，∴AN=，∴AD==，即A、D两点之间的距离为．故答案为：．4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为　　．【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（