专题55例谈梯形问题中常见的辅助线-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题05例谈梯形问题中常见的辅助线【专题综述】在研究梯形问题时，我们经常需要添加适当的辅助线将梯形转化为三角形或平行四边形，本文举例说明梯形中常见辅助线在解题中的转化功能.【方法解读】一、连结对角线例1如图，梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=CD,试说明AC=CE.解:连接BD,'.'CDIIBE,CD=BE?・•・四边形DC3E是平行四边形，：.BD=CE,•・•等腰梯形ABCD,.•・AC=BD,：・AC=CE.【解读】本题关键在丁•结合等腰梯形的性质及平行四边形的判定解题.【举一反三】

2、1某花木场有一块形如等腰梯形ABCD的空地，各边的中点分别是E,F,G,H,测量得对角线4010米,现想用篱笆I韦I成四边形EFGH的场地，则需篱笆总长度是（）A.40米B.30米C.20米D.10米【答案】C【解析】解：如图，连接根据三角形中位线定理，得EF=HG=^-AC=5,EH=FG=；BD,22・・•四边形A8CD是等月要梯形，:.AC=BD.:・EF=FJGH=HE=.・••需篱笆总长度是EF-HJEH-GF=2AC=2Z0=2Q（米）・故选C.二、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形例2如图，梯形A

3、DCB中，AB//CD,AB=2cm,CD=Scm,AD=4cm,求BC的取值范围.解：过点B作BE//AD,交CD于点E,则四边形ADEB是平行四边形,/•BE=AD=4cm,・DE=AB=2cm,••EC=CD—DE=8—2=6c77?,在△ESC中，EC-8E

4、CE为平行四边形，C»AE,4E5又-/ZC=80%.•・厶回=80爲在AABE中，Z5^5=l80°-Z3-Z.4E8=50°「・AE=BE>CD=BE=BC・EC=BC・AD=3.三、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,E、F分别为AD.BC的中点，BC=8,4D=4,试求EF.解：过点E分别作EM//AB,EN//CD,分别交BC于M、N,则ZEMF=ZB,ZENF=ZC.:.ZEMF+ZENF=90。,:.ZMEN=90°.fAE=BMfDE=CN,:・MF=NF,111・•・EF=一MN=

5、一(BC~AD)=一(8—4)=2.【解读】本题关键在于通过平行线的构造，将梯形的两条腰转化为一个二角形的两条边，并对角度进行转化，结合勾股定理求解.【举一反三】1在梯形ABCD中，AD//BC,AC丄BD,若AD=2,BC=8,BD=6,求：(1)对角线AC的长；(2)梯形ABCD的面积.【答案】(1)8；(2)24【解析】(1)过D作交BC延长线于E,过D作DF丄BE于F,'ADHCB,:.ADIICE,・•・四边形ADEC是平行四边形,.AD=CE=2,AC=DEf•/5C=8,.•・BE=BC-CE=0'AC1BD?/.Zl=903,'：ACHD

6、E?/.Zl=Z2=90%RtABDE中，DE=JBE】一DB：=8,(2)、：、BDE的面积为LxDBxDE=1x6x8=24,22・・・一xDFxBE=24,2•••梯形ABCD面积为:-(AD+BC)x/)p=lxlOx—=24.225四、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形例4己知，如图，梯形ABCD中，AD//BC,ZB=ZC=45。，梯形ABCD是等腰梯形吗？解：过点/作巫丄于点&过点D作DF丄眈于点几••厶EE=ZDFC=gO。，AE=DF,又ZB=ZC=45°.：ZBE^'DCF,即AB=CD,・•・

7、梯形ABCD是等腰梯形.【解读】本题关键在于作出梯形的两条高，再结合三角形全等证明对应边相等.【举一反三】5.如图，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,DC//AB,BC=3,DC=4,AD=5.动点P从B点出发，由BSD—A沿边运动，则△ABP的最大面积为（）.A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】解答：解：过点D作DE丄4B,则DE=BC=3,BE=CD=4Rt/XADE+,AE=VAD2-DE2=a/52-32=4・・・AB=8,Sa^p=-xABxBC=-x8x3=12,即ZVIBP的最大面积为12.22故选B.五、延长两腰，即延长两腰

8、交于一点，得到两个三角形例5如图，梯形