专题9.15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△C

2、EF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．[来源:学科网ZXXK]二、间接求解法例2如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部

3、分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．[来源:学科网ZXXK]四、等积变换法[来源:学科网ZXXK]例4如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积

4、，从而获解．[来源:Zxxk.Com]解连接OC，OB，五、分割法例5如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．[来源:学

5、科

6、网]设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB＝4cm，求阴影部分面积．[来源:学。科。网Z

7、。X。X。K]分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作OE⊥AB于点E，则BE＝AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把

8、右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝的图象上，∴3a＝．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．．[来源:学科网][来源:学科网]【强化

9、训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=，则图中阴影部分的面积为（　　）A．π+1　　　　　　B．π+2　　　　　　C．2π+2　　　　　　D．4π+1【答案】B．【解析】考点：1．扇形面积的计算；2．等腰三角形的性质；3．圆周角定理．2．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（　　）A．1　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．【答案】A．【解析】试题分析：如图，⊙O的半径为，⊙O1的半径为1，点O在⊙O1上