专题4.12 网格中的勾股定理-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题12网格中的勾股定理【专题综述】网格题型是近几年的常考题型，也是近期各地中考考试的一个热点。正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。【方法解读】一、面积问题例1如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：2【解读】可以设每一个小正方形的边长为1，则正方

2、形ABCD的面积就是4×4=16，小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边，另外两条直角边长度分别是1和3，根据勾股定理可以求出EF=，所以小正方形的面积就是=10。所以阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是10：16=5：8。【举一反三】如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．【来源】山东省青岛市第四中学八年级数学上册：1.1探索勾股定理同步练习【答案】36二、长度问题[来例2如图2所示，在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是（）A、a

3、＜b＜cB、c＜a＜bC、c＜b＜aD、b＜a＜c解：，即a2=10;,即b2=5,即c2=13∵b2＜a2＜c2∴b＜a＜c【解读】两个正数比较大小，可以按照下面的方法进行：如果a＞0，b＞0，并且a＞b，那么＞。可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形BDC中，根据勾股定理可以求出斜边a2=10，通力可以求出b2=5，c2=13，因为b2＜a2＜c2，所以b＜a＜c．学￥科*网【举一反三】勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中

4、较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。现在把这个数轴叫做x轴，同时，增加一个垂直于x轴的数轴，叫做y轴，如下图。这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A点的位置可以表示为（2，3），而数对（2，3）所

5、对应的点即为A。若平面上的点M，N，我们定义点M、N在x轴方向上的距离为：，点M、N在y轴方向上的距离为：。例如，点G（3，4）与点H（1，-1）在x轴方向上的距离为：

6、3-1

7、=2，点M、N在y轴方向上的距离为：

8、4-（-1）

9、=5。（1）若点B位置为（-1，-1），请在图中画出点B；图中点C的位置用数对______来表示。（2）在（1）条件下，A、B两点在x轴方向上的距离为________，在y轴方向上的距离为_______，A、B两点间的距离为______；若E点、F点的位置分别为（a，b）、（c，d），点E

10、、F之间的距离为

11、EF

12、，则=_______________。（3）有一个点D，它与（0，0）点的距离为1，请画出D点所有可能的位置。【来源】北京师范大学附属中学2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题【答案】（1）点C（4，5）；（2）3，4，5；（a-c）+（b-d）（3）见图中：圆.【解析】试题分析：（1）根据有序数对的含义解答，明确有序数对前后两个数表示的含义；（2）根据两点在坐标轴方向的距离含义或解答；两点间的距离则根据勾股定理解答.（3）与（0，0）点的距离为1的点在以（0，0）为圆心，以1为

13、半径的圆上.(3)如图，三、三角形形状问题例3如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A’B’C’、△A’’B’’C’’三个三角形中，直角三角形有（）A、3个B、2个C、1个D以上都不对解：设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得：AB2=10，BC2=5，CA2=5，∵，BC2＋CA2=AB2，∴三角形ABC是直角三角形。同理可以求出，A’B’2=10，B’C’2=5，C’A’2=13，∵A’B’2＋B’C’2≠C’A’2，∴该三角形不是直角三角形，同理可以判断△A’’B’’C’’是

14、直角三角形，所以选B.学！科%网【解读】要想判断是否为直角三角形，本题中可以根据勾股定理的逆定理来进行判断，前提条件是先求出三角形的三边的平方。同样可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形ABC中，AB2=10，BC2=5，CA2=5，因为，BC2＋CA2=AB2，所以该三角形是直角三角形。同理可以求出，A’B’2=10，B’C’2=5，C’A’2=13