考点透析12：平面向量及其运用

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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析1仁平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1.（浙江卷）设向量a,b,c满足g+Z?+c=O,q丄方,

2、幺

3、=1,

4、方

5、=2,则

6、6?

7、2=（A）l（B）2（C）4（D）52.（2003年天津高考题）0是平面上一定点，A.B、C是平面上不共线的三个点，动点"满足丽=鬲+2（丝-+丝0，几w[O，+s），则戶的轨迹一定通过△肋0的（）图1ACA（A）外心（B）

8、内心（C）重心（D）垂心3.（广东卷）如图1所示，D是ABC的边A3上的屮点，则向mCP=A.-BC+-BAB.-BC--BAC.BC--BAD.BC+-BA22224.（湖南卷）已知

9、川二2

10、M?0,且关于兀的方程％2+

11、。

12、兀+a?b0有实根，则q与b的夹角的取值范围是()A.[0,—]B.[—,/?]C.D.[―,p]633365.（全国卷I）己知向量d、b满足制=1辆=4,,且ab=2,则a与“的夹角为c-i6.《山东卷〉设向量a=（l,—2）0=（—2,4）,c二（一1,—2）,若表示向量4d,4〃一2c,2（a—c）

13、4的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6)(B)(—2,6)(C)(2-6)(D)(-2-6)7.（上海卷）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）—>—>(A)AB=DC；—>—>—>(C)AB-AD=BDx(B)AD+AB=AC；(D)AD+CB=0.8（北京卷）若三点g2“（®CW）（加。）共线，则+的值等于——9.（2005年全国卷II）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量戶（4,-3）（即点P的运动方向与y相同，且每秒移动的距离为冋个单位.设开始时点P的坐标为（一10,10）,则5秒后点P的

14、坐标为(10,—5)10・(湖南卷)已知直线or+by+c=0与圆O：x2+>,2=1相交于A、B两点，且

15、AB

16、=J3,—*—*1则OAOB=.--2【典型考例】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知d是以点人(3,—1)为起点，且与向量〃=(一3,4)平行的单位向量，则向量。的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量-ci12严—3)+3(y+?=0解得x=5或＜(X—3)2+0+1

17、)2=11方法二方法一：设向量a的终点坐标是(兀丿),则a=(x-3j+l),则题意可知「18121「189‘故填(三，*)或(三，*)9nQQQy=-?134与向量方=(・3,4)平行的单位向量是土一(・3,4),故可得a=±(・一,一)，从而向量a555的终点坐标是(x,y)=a—(3,—l),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知

18、a

19、二1,

20、方

21、二1,a与方的夹角为60°,x=2a~bfy=3b~a,则兀与y

22、的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与丿的夹角0需求出

23、x

24、,[y

25、,x•丿的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知

26、创二0

27、二1,a与力的夹角a为60°，得a・b=a\bcosa=—.2要计算工与y的夹角〃，需求出圉，国，x・y的值.

28、x

29、2=x2=(2^-b)2=4a2-4a・方+沪二4—4X*+1=3,0o_Oo__o_1y^=y^=(.3b—a)=9b^—6b•a+矿=9—6X—+1=7.x•y=(2a~b)・(3b~a)=6a•b—2a2—3b2+a•b=7a・b~2a2~3h2=7X--2-3=--,22

30、cosO=—又丁兀•y=x\ycosO,点评：①本题利用模的性质

31、济二启②在计算对的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b,AC=a,AD=2a,ZBAC=60°•由向量减法的几何意义，得BD=AD-AB=2a-b.由余弦定理易得

32、万5

33、二JL即圉二JL同理可得国二J7.【考型2]向量共线与垂直条件的考查例3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(—1,3),若点C满足OC=aOA+pOB,其中a,卩WR且a+卩=1,求点C的轨迹方程。.解：(法一)设C(x,y),则OC=(x

34、,y),由OC=(x,y)=a(3,1)+0(-l,3)=(3a-0,a+3“).・・!兀=3°-0,(可从中解出么、“)又•:a+p=消去血0得兀+2才5二0[y=q+30(法二)利用向量的儿何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A,