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1、专题七平面向量及其运用【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：解斜三角形.考点4：线段的定比分点、平移公式.考点5：向量的运用.【自我检测】1、叫做向量;2、口q做共线向量（平行向量）；3、叫做相等向量；4、叫做单位向量.5、向量加法法则是,.减法法则是•6、设a=（xj1）»b=（X2J2），AGRa+b=,它满足的运算性质有.a—b=,它满足的运算性质有.2a=,它满足的运算性质有.==，它满足的运算性质有.cos==.a//b<^>=；q丄方O
2、=.7、正弦定理的内容是8、余弦定理的内容是9、定比分点坐标公式是（其中兄=）.10、平移公式是.【重点•难点•热点】问题1：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1:已知d是以点人（3,—1）为起点，且与向量方=（一3,4）平行的单位向量，则向量“的终点坐标是.思路分析：与d平行的单位向量e=±=IaI方法一：设向量a的终点坐标是（心）,则a=（r3,），+l）,则题意可知4(x-3)+3(y+1)=0(X—3
3、)2+0+1)2=1解得12X=—5或遠1y=-?x=18丄-七121十1895'故填()9nDnQy=_=134方法二与向量b=(-3,4)平行的单位向量是土一(-3,4),故可得。=±(-—,一)，从而555向量a的终点坐标是(x,y)=a—(3,—1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已矢口la1=1,1方1=1,a与方的夹角为60°,x=2a~bfy=3b~a,则兀与y的夹角是多少？思路分析：要计算工与y的夹角
4、0,需求出・y的值.计算时要注意计算的准确性.解：由己知lal=lbl=l,a与乃的夹角a为60°，得a•b=a\bcosa-—.2要计算兀与y的夹角0,需求出Ixl,Ijl,x•j的值.*x2=x2=(2a—b)2=4a2—4a•b+b2=4~4X—+1=3,2lyl2=y2=(3ZF—a)2=9b2—6b•a+a2=9~6X*+1=7.x・y=(2a—b)•(3b_a)二6a•b—2cr—3b2+a•b=7a・b-2a2-3b2=7X-_2—3二一-,22又Vx•y=x\ycos0,即一二二V3XJ7cosO,2
5、V21—百，隹…心芯.即兀与y的夹角是7t—arccos14点评：①本题利用模的性质加之2,②在计算目的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设乔"，AC=a,~AD=^ZBAC=6i)°.由向量减法的几何意义，得丽=AD~AB=2a~b.由余弦定理易得I丽1=JL即XI二JL同理可得lyl=J7.问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用当平面向輦给出的形式中含有未知数时，由向暈平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化
6、途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.例3・已知平面向量a=(V3,—1),b=(丄，《3).22⑴若存在实数£和r,便得x=a+(r2—3)b,y=~ka+tb，且兀丄丿，试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：(1)法巾题意知—3&2),22j=(—t—V3k,^^t
7、+k),又兀丄y22F一2羽-3」乩、，zV3llvn故兀・y=x(—t—V3k)+x(t+k)=O.2222i3整理得:t3-3t-4k=0,即k=-t3--t.44法二：Va=(73T),bJ,晅)，••••
8、十2,心且心22•.•兀丄丁，•y=0,即一k
9、a
10、2+l(t2—3)
11、&
12、2=0,13.••t7十。，即“一才1333⑵由(1)知：k=f(t)=—t3——t/.kx=fz(t)=—t3——,4444令k"V0得一1VtVl；令k‘>0得tV—l或t>l.故k=f(t)的单调递减区间是(一1,1),单调递增区间是(一°°,
13、—1)和(1,+°°).点评：第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利川向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要川到向量的数量积公式及求
