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1、专题七 平面向量及其运用【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：解斜三角形.考点4：线段的定比分点、平移公式.考点5：向量的运用.【自我检测】1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；3、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；4、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.5、向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.6、设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2），Ra＋b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿
2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.a－b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.cos=____________=__________________.a∥b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.7、正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3、＿＿（其中＝＿＿＿＿＿＿）.10、平移公式是____________________.【重点难点热点】问题1：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b=(－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 .思路分析：与a平行的单位向量e=±方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知，故填(,-)或(,-)16方法二 与向量b=(-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可
4、得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a－(3,－1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知
5、a
6、=1,
7、b
8、=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出
9、x
10、,
11、y
12、,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知
13、a
14、=
15、b
16、=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=
17、a
18、
19、b
20、cosα=.要计算x与y的夹角θ，需求出
21、x
22、，
23、y
24、，x·y的值.∵
25、x
26、2=x2=(2a－b)2=4a2
27、－4a·b+b2=4－4×+1=3，
28、y
29、2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b=7a·b－2a2－3b2=7×－2－3=－，又∵x·y=
30、x
31、
32、y
33、cosθ，即－=×cosθ，∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos点评：①本题利用模的性质
34、a
35、2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b,=a,=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得
36、
37、=，即
38、x
39、=，同理可得
40、y
41、=.问题2
42、：平面向量与函数、不等式的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).16(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系
43、怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x＝(,),y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y故x·y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.法二：∵a＝(，－1)，b＝(,),∴.＝2，＝1且a⊥b∵x⊥y，∴x·y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t(2)由(1)知：k＝f
