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1、4(x-3)+3(y+1)(x-3)2+(y+l)2解得专题七平面向量及其运用【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：解斜三角形.考点4：线段的定比分点、平移公式.考点5：向量的运用.［自我检测】1、叫做向量；2、叫做共线向量（平行向量）；3、叫做相等向量；4、叫做单位向量.5、向量加法法则是,.减法法则是.6、设Q=（X］』］）,b=（X2,_V2），AGRa+h=，它满足的运算性质有a—b=,它满足的运算性质有,它满足的运算性质有.,它满足的运算性质有cos=a//bO7、正弦定理的内容
2、是.8、余弦定理的内容是.9、定比分点坐标公式是（其中兄=）•10、平移公式是.【重点•难点•热点】问题1：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习屮要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例已知"是以点力（3,—1）为起点，且与向量〃=（一3,4）平行的单位向量,则向量“的终点坐标是.思路分析：与d平行的单位向量0=士上-方法一：设向量a的终点坐标是（xj）,则a=（x-3jH-l），贝ij题意nJ知is121189T，故填（丁,・才）或（¥€）134方法二与向量方=(・3,4)平行的单位向量是土
3、一(・3,4),故町得a=±(・一,一)，从而555向量d的终点坐标是(x,v)=a-(3,-l),便町得结果.点评：向量的概念较多，H•容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知
4、a
5、=1,
6、方
7、=1,a与方的夹角为60°,x=2a~bfy=3b~a,则工与y的夹角是多少？思路分析：要计算兀与丿的夹角&,需求出琳j的值.计算时要注意计算的准确性.解：rfl已知匕
8、=
9、切=1,a与〃的夹角a为60°a*b=a\bcosa=—.2要计算x与y的夹角0,需求出［y
10、,x•y的值.Vx^=x2=(2
11、a—b)2=4a2—4a•〃+沪=4—4X—+1=3,y
12、2=J2=(3^-a)2=9b2—6b・a+a2=9—6X—+1=7.2x・y=(2a~b)・(3方_a)=&z・b—2a2—3b2-^a•b=la・方一2^2—3方2=7X——2—3=——,222又Tx•y=x\ycos3,即__=V3XV7cos3,2,&—心百.即皿的夹角是V21it—arccos14点评：①本题利用模的性质a^=cr,②在计算心的模时，述可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b,AC=a,AD=2a^ZBAC=60°.由向量减法的几何意义，得丽=AD-AB=2a~b.
13、由余弦定理易得
14、丽
15、=馆，即国=馆，同理nJ得恻=".问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用当平血向量给出的形式中含有未知数时，山向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向最平行或垂直的充要条件，②利用向量数量枳的公式和性质.例3・已知平面向量a=(V3,—1),b=(丄，迥).22⑴若存在实数&和/，便得x=a+(/2—3)b,y=—ka+tbfHx±y，试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间.思路分析：①
16、欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与tZ间的等虽关系，k与tZ间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：⑴法-：由题意知口今2匹壬)'乂兀丄丿+“F-2屈-3」*'、.V3z2-273-2应亠、n故x・y=x(—t—a/3k)+x(t+k)=O・2222i3整理得:?-3t-4k=0,即k=-t3--t.44法一：*•*a=(y[i,—1),b=(—,—),.仇=2,b=1Ila丄b22i3T兀丄y,Ax•j=0,即一kfl
17、2+t(t2—3)
18、方
19、2=0,/•t3—3t—4k=0,即k=—t"——t144
20、]333(2)由(1)知：k=f(t)=-t3--t・・.k"=f"(t)=-t3--,4444令kz<0得一1VtVl；令kz>0得tv—1或t>l.故k=f(t)的单调递减区间是(T,l)，单调递增区间是(一8,"I)和(1,+-).点评：第(1)问屮两种解法是解决向量垂肓的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂肓的充要条件；二是肓接利用向量垂宜的充要条件，其过程要用到向疑的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程人人简化，值得注意).第(2)问屮求
