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1、ACAE=O,则AM)=^(AB-^4+ACAF构设平面向量解题亍波市郵州中学朱达峰邮编315101向量是数学中的一个重要概念乙一，它是从物理学和工程技术中抽彖出來的，连同它的运算法则、性质都源于实践；反过來向量的理论和方法又为解决实际问题提供了有力工具,运用向量的方法解决一些平而儿何、立体儿何、代数、物理等问题，而且其解题过程往往显得简捷明快。运用向量方法解题的一般步骤：先构设一些基本向量，然后明确问题kl标的相应向量表示形式，址后是进行必要的向量运算，从而得到问题的结果。运用平曲向量主要对以解决下列几个方血的问题一、几何问题：常见的
2、类型有平行、垂直的判定，几何图形形状的判定、线段的比值等等。例1己知以两边AB,AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,M为BC的中点；求证：AM丄EF分析要证AM丄EF,只需证AMEF=O,这里有两个正方形，有许多垂直关系，利用这些垂直关系就可以得证。证明•・•AB丄AF9AC丄AE,.AB^AF=ORcos(90°+ZBAC)+1ACI-IAFIcos(90°+Z3AC)),tIAE1=1AC1,1AB1=1ATI/.AM•EF=0,故有AM丄EFaf1T1例2已知平行四边形ABCD边AB中点为E,F为ADAl的一点，且——
3、=—,BF与CEFDn交tk,求竺的值KCFK■i•f■.分析可设一==把向量BF,BK表KC示出来，利用点B,F,K共线进行求解卜K■•—♦.—♦■•・•・•—♦7”—>，•■•■•I—♦解设—=Z,BA=a,BC=b,则BF=BA+AF=a+b.BK=BE+EK=—aKCm+n221+2m/?+1一a2(1+2)山于点B、F、K共线，则有BF=tBKm1+兄故八2(m+n)m2(m+n)mt〜mt7^7ini
4、taHb=b+a,贝X/??+n1+A2(1+A)2(1+2)二、代数问题：常见的类型有不等式的证明、三角形角度求解、最值问
5、题筹等。例3求证：兀］兀2+y*2s+远分析兀"+）卩2是两个向量的数量积的朋标形式，J斤+戸2.J卅+必是两个向量的模的乘积，可以得到下列证明。证明设d=（兀&=（兀2」2），的夹角为&，则lal=Jxf+y：,l&l=Jx?+y；a-b=a\hcos0<1aIIb=yjxf+yf•J卅+yf,乂aI=x、兀？+y}y2则有x{x2+y{y2<7^12+片•J卅+y结论可推广为（①勺+必2+—+Q0）<（«!2+a；+・..+a：加+吋+•••+$：）例4在ABC内求一•点P,使AP2+BP2+CP2的值最小分析根据已知条
6、件，可构设两个基木向B.CA=a,CB=bf把AP2+BP2+CP2：it示成关于变化向量CP=x的函数，最后求出这个函数的最值解'&CA=ayCB=b.CP=x,贝'JAP=x-a.~BP=x-b22—2f-cf-c-2:.AP+BP+CP=(x-n)2+(x-/?)2+x=3x-2(a+b)x+a+b=3x——(a+b)+g+b——(d+b)?3根据向量运算的意义知；=*（：+初时，Ap2+Bp2+cp2有最小值，设点M为AB的中点，因a+b=2CM当；=一（：+&）时，CP=-CM,即P为MBC的重心时AP?+Bp2+cp2的值最
7、小。33三、实际问题：常见类型有实际应用题、物理学问题等。例5—口行车以6/”/s的速度向北行驶，这时骑车人感觉风口正西方向吹來，但站在地面上测得风口西偏北30°方向吹來，试求：（1）风相对于车的速度；（2）风相对于地的速度分析根据题意可知v风车+卩车地=卩风地（其中"风车，卩车地川风地分别表示风对不、午对地、风对地的速度）解依题，作速度向量图，己知丨“车地l=6m/s,方向正北;’风车与「风地夹和为30°,因此（1）风相对于车的速度大小为Iv风车1=1”车地丨cot30°=6^/3in/s（2）风相对于地而的速度大小为I「风地1=匕理
8、=2m/ssin30°例6在很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°,速度为v=2.5km/h，同吋岸上有一人，从同一哋点追赶小船,己知他在岸上跑的速度为w=4kmJh,在水中游的速度为v2=2km/h,问此人能否追上小最人速度为多船，能追上的少？解设人在岸上跑了时间心到达A地，然后入水，在水屮沿AE方向游水追船，以船在B点为参照系，则人在水中对船的速度可=石-；，因为相对速度可方向不变，欲追上船不管石方向如何，只要a>3就可。由石-齐，石组成的向量三角形，其中石，方向不变（Z
9、ADE固定）而石大小恒定，要使DE边最长（即'的大小最大）须AE丄ADfAJ7（JRIvI〜因AF//DE//OB.CE//AB,MFC-OAB:.——=——=—,又因AF=v4COA
10、Vj
11、.AC
