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1、平面向量及其运用【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：解斜三角形.考点4：线段的定比分点、平移公式.考点5：向量的运用.【自我检测】1、叫做向量;2、叫做共线向量（平行向量）；3、叫做相等向量；叫做单位冋量.向量加法法则是,.减法法则是.设Q=h=（X2,y2），QwRa+b=,它满足的运算性质有.a—b=,它满足的运算性质有.Aa=,它满足的运算性质有.==,它满足的运算性质有.cos==・a//b<=>=；a丄bO=.正弦定理的内容是8、余弓玄定理的内容是・9、定比分点坐标公式是（
2、其中兄=）.10、平移公式是.【重点•难点•热点】问题1：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的处标运算、数量枳运算，掌握两向量共线、垂直的充耍条件.例1：己知a是以点J（3,-l）为起点,且与向量方=（一3,4）平行的单位向量,则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量0=土亠12_［或＜方法一:设向量a的终点坐标是（心）,贝lja=仗・3,严1）,则题意可知18121189:二：;爲賈：解得x=T故填（兰二）或（兰二）5555134方法二与向量b=(-3,4)平行的单位向量是土一(・3,4)
3、,故町得«=±(--,-),从而555向量0的终点处标是(2)=0—(3,—1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知
4、=1,
5、〃
6、=1,a与〃的夹角为60°9x=2a—bfy=3b_a,则兀与y的夹角是多少？思路分析：要计算兀与y的夹角8,需求出的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知
7、a
8、=
9、〃
10、=l,a与〃的夹角a为60°a•b=a\bcosa=—.2要计算x与y的夹角需求l11
11、x
12、,[y
13、,x•y的值.・・・
14、讦=兀2=(加一方)彳二滋仝
15、—久・〃+庆=4一4><丄+1=3,y
16、2=3?2=(3b—a)2=9/>2—6b・a+a2=9—6X—+1=7.2x・y=(2a—h)・(3方_a)=6a・b—2a2—3h2-^a・h=7a・〃一2,—3方2=7x1一2—3=—-,223_又Vx•y=x\ycos3,即一一=X2・・2-譽,—兽即田的夹角是V21Tt~arccos14点评：①本题利川模的性质⑷2中2,②在计算紂的模时，还叮以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b,AC=a,AD=2a,ZBAC=6O0.由向量减法的儿何意义，得丽=AD-AB=2a~b.由余弦定理易得
17、丽
18、=馆，即
19、，同理可得y=y[l.问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用当平面向量给出的形式屮含育未知数时，由向量平行或垂直的充耍条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，对以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利川向量数量积的公式和性质.例3.已知平面向量a=(VJ,—1),b=(丄，H).22⑴若存在实数R和/,便得x=a+(/2—3)b,y=—ka+tb，且x丄y,试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据⑴的结论，确定k=f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t),
20、只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解“法“题意心"V),孚+k),,,r一2屈一31兀V3/2-2V3-2/馆丄n故x•v=x(—t—a/3k)+x(——t+k)=O2222I3整理得:t3-3t-4k=0,即k=-t3--t14法―:*•*a=(>/3,—1),b=(—,),.”
21、=2,b=1且a丄b22T兀丄y,/.x•j=0,即一kc)3i24-t(t2-3)
22、ft
23、2=0,・・・F—3t—4k=0,即k=-t3-^-(2)由⑴知：k=f(t)=丄宀4333-
24、—tek'=f'(t)=_F__,444令k"V0得一令kz>0得tV—l或t>l.故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(一a,-1)和(1,+-).点评：笫(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的朋标运算分别求得两个向量的朋标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程耍用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)•第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.!-1J3演变3：已知平而
