中考数学典型习题讲解(六)

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1、中考数学典型习题讲解（六）1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）A．　　B．　C．　　D．解：①0≤x≤4时，∵正方形的边长为4cm，∴y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•t•t=﹣t2+8，②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣t）•（8﹣t]=﹣（8﹣t）2+8，所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示

2、，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B．2、如图，AB=BC=CA=AD=，AH⊥CD于H，CP⊥BC于点P，AP=，则BD=．证明：记BD与AH交于点Q，则由AC=AD，AH⊥CD得∠ACQ=∠ADQ．又AB=AD，故∠ADQ=∠ABQ．从而，∠ABQ=∠ACQ．可知A、B、C、Q四点共圆．∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD，∠CBQ=∠CAQ，∴△APC∽△BCD．∴AC•BC=AP•BD．∴=3、如图13，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A. （1）∠BEF=_____(用含a的代数式

3、表示)；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图14），求的值（用含m、n的代数式表示）。（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°-2α；故答案为：180°-2α；（2）EB=EF．证明：连接BD交EF于点O，连接BF．∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=18

4、0°-∠C=180°-α．∵AB=AD，∴∠ADB=（180°-∠A）=α，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF，∴，即，∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF，∴∠EFB=∠EDO=α，∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，∴EB=EF；（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接GE，则∠G=∠AEG==α，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，∴∠EDF=∠G，∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC，

5、∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED，∴△DEF∽△GBE，∴，∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE，∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，∴==n+1-m．4、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2－7x＋12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.（1）求A、B两

6、点的坐标.（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.　　　　　　第28题图解：（1）x2－7x+12=0解得x1=3，x2=4∵OA＜OB∴OA=3,OB=4∴A(0,3),B(4,0)图1图2(2)由题意得，AP=t,AQ=5-2t可分两种情况讨论：①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB如图1=解得t=所以可得Q（，）①当∠AQP=∠AOB时，△APQ∽△ABO如图2=解得t=所以可

7、得Q（，）（3）存在M1（，），M2（，），M3（－，）（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=，AE=AQ•cos∠QAP=，∴OE=OA-AE=，∴Q（，）．∵□APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（，）；∵□APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（，）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵□AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ

8、，∠PM3F=∠AQE，