中考数学典型习题讲解(十一)

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1、中考数学典型习题讲解（十一）1、如图，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，∠BAC=48°，CE、CF三等分∠ACB，分别交AD于点E、F，连接BE并延长交AC于点G，连接FG，则∠AGF=．解：∵∠A=48°，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）=66°，设BG与CF交点为O，连接BF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴FB=FC，∴∠FBC=∠FCB，同理∠EBC=∠ECB，∴∠FBE=∠FCE，∵CE，CF三等分∠GCD，∴∠FBE=∠FCE=∠FCG，∵∠FOB=∠GOC，∴△FOB∽△GOC，∴，∵∠FOG=∠BOC∴△FOG

2、∽△BOC∴∠FGO=∠BCO=∠ACB=×66°=44°∴∠AGF=∠BGA-∠FGO，=∠GBC+∠GCB-∠FGO，=22°+66°-44°=44°．故答案为：44°．2、已知，如图O为平面直角坐标系的原点。半径为1的⊙B经过点O，且与x、y轴分别交于点A、C，点A的坐标为（，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D。（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过点D的反比例函数的表达式。·（1）∵∠AOC=90°，∴AC是⊙B的直径，∴AC=2又∵点A的坐标为（-，0），OA=，∴OC=∴sin∠CAO=  ∴∠CAO=30°(2)如图，连接OB，过点D作DE⊥X轴

3、于点E，∵OD为⊙B的切线，∴OB⊥OC，∴∠BOD=90°，∵AB=OB，∴∠AOB=∠OAB=30°∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD，∴OD=OA=在Rt△DOE中，∠ODE=180°-120°=60° ∴OE=ODcos60°=OD=ED=ODsin60°= ∴点D的坐标为（，）设过D点的反比例函数的表达式为 ∵3、如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过D，C作DE∥OC，CE∥OD．（1）图中有若干对相似三角形，请至少写出三对相似（不全等的）三角形，并选择其中

4、一对加以证明；（2）求证：DM=OB（1）解：相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM，∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE，∴△ABM∽△NDM∽△NCE，∵DE∥OC，∴△EDM∽△AOM，△DNE∽△CNA，∴△AOM∽△ACE∽△EDM；∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，又∵CE∥OD，∴AM=ME，

5、∴OM=CE，∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形DOCE为平行四边形，∴CE=OD，∴OM=OD=OB．4、如图，已知二次函数y=(x-m)2-4m2(m>0)的图象与x轴交于A、B两点。（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；（）若顶点P在以为直径圆上，求解析式；解：（1）∵y=（x-m）2-4m2，∴当y=0时，（x-m）2-4m2=0，解得x1=-m，x2=3m，∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（-m，0），（3m，0）；（2）∵A（-m，0），B（3m，0），m＞0，∴AB=3m-（-m）=4m，圆的半径为AB=2m，∴OM=AM-OA=2m-m=m，∴抛物线

6、的顶点P的坐标为：（m，-2m），又∵二次函数y=（x-m）2-4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，-4m2），∴-2m=-4m2，解得m1=，m2=0（舍去），∴二次函数的解析式为y=（x-）2-1，即y=x2-x-5、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠

7、BCA=180°∴2∠BCP+2∠BCA=180°，∴∠BCP+∠BCA=90°，∴直线CP是⊙O的切线．（2）如下图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC∴BD∥PC∴∠PCB=∠DBC∵BC=2，sin∠BCP=，∴sin∠BCP=sin∠DBC===，解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为4．（3）如下图，连接AN，在Rt△ACN中，AC==5，又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．∵BD∥CP，∴，∴CP=．在Rt△ACP中，AP==，AC+CP+AP=5++=20，∴△ACP的周