高中数学第一讲不等式和绝对值不等式12绝对值不等式121绝对值不等式例题与探

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1、1.2.1绝对值三角不等式典题精讲【例1】（经典回放）（1）若x〈5,nWN,则下列不等式：n77®

2、xlg

3、<5

4、lg

5、;刃+1/7+1②

6、x

7、lg—<51g—;〃+1〃+1③xlg-^-<5

8、lg-^

9、;〃+1n+1@

10、x

11、lg—<5

12、lg—

13、.〃+1h+1英屮，能够成立的有•（2）不等式山+⑴$1成立的充要条件是。a-b思路解析：（2）题求充要条件，因而可从不等式的性质

14、a+b

15、^

16、a

17、-

18、b

19、lB发，去寻找原不等式成立的充要条件.n（1）V0<<1,n+1Alg—^-<0./l+l由x〈5,并不能确定

20、x

21、

22、与5的关系，n•••可以否定①②③，而

23、x

24、lg〈0,④成立.n+1（2）当

25、a

26、>

27、b

28、时,有

29、a

30、-

31、b

32、>0,.•.

33、a-Fb

34、^

35、

36、a

37、-

38、b

39、

40、=

41、a

42、-

43、b

44、,.I必有上込/a-h即

45、a

46、>

47、b

48、是也+创21成立的充分条件.ci~b当

49、M+山三1时，由

50、a+b

51、>0,a-b必有

52、a

53、-

54、b

55、>0.即

56、a

57、>

58、b

59、,故

60、s

61、>

62、b

63、是力+⑴三1成立的必要条件.丨°IT创故所求为:

64、a

65、>

66、b

67、.答案：（1）④（2）

68、a

69、>

70、b

71、绿色通道：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素

72、进行分析，如一个数的正、负、零等,数（或式子）的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考察这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.题（2）是求充要条件，一般要从两个方面来探讨，一是充分性，二是必要性，两者缺一不可，但为了尽快寻找到满足题意的条件，在对代数式化简整理或变形中，若能使其等价变形式都能保证其等价的条件，最终都将成为要求的“条件”・【变式训练】设ab>0,下面四个不等式©

73、a+b

74、>

75、a

76、;②

77、a+b

78、<

79、b

80、;®

81、a+b

82、<

83、a~b

84、;@

85、a+b

86、>

87、a

88、-1b

89、中,正确的是（）A.

90、①和②B.①和③C.①和④D.②和④思路解析：Tab〉O,「.a,b同号.

91、a+b

92、=

93、a

94、+1b

95、.®④正确.答案：C【例2】设m等于

96、a

97、、

98、b

99、和1中最大的一个,当

100、x

101、>m时,求证:

102、-+-^

103、<2.思路分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用.

104、a

105、.山

106、和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m2山

107、、m$l.证明：T

108、x

109、〉mN

110、a

111、,

112、x

113、>m$

114、b

115、2

116、X

117、

118、x

119、T=2

120、x

121、>m^l

122、x12>

123、b

124、,,b

125、x

126、(

127、x

128、I1<1

129、x

130、

131、x

132、2故原不等式成立

133、.绿色通道：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要來源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需耍从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题冃中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题屮题设条件屮的文字语言"m等于

134、a

135、,

136、b

137、,l中最大的一个”转化为符号语言

138、m

139、>

140、b

141、,"是证明本题的关键.【变式训练】已知aWR且”求证：呼晋-孕思路分析：本题屮要证明的不等式，包含

142、a+b

143、,

144、a-b

145、,

146、a

147、-

148、b

149、,因而需要利用绝对值的不等式的性质，其中2

150、a

151、=

152、a+b+a-b

153、,是一种常用的拼凑法，其

154、次，观察要证明的不等式，可以发现不等式的左边丄（

155、a

156、-

157、b

158、）,可能为正值（

159、a

160、>

161、b

162、时），也可能非正（

163、a

164、<

165、b

166、时）.2因而，又涉及到分类讨论.证明：（1）若

167、a

168、>

169、b

170、,左边」°+小"2

171、q

172、

173、a+b

174、

175、a-b>

176、+a-b\a+b\a-b_1

177、tz+/?

178、+1a-b[*]

179、a^b

180、

181、a-b\a^b\a-b\a-b・・.左边鼻匕上凹二右边.2(2)若

182、a

183、<

184、b

185、,左边>0,右边〈0,・••原不等式显然成立.综上可知原不等式成立.【例3】求函数y=

186、x-3

187、-

188、x+i

189、的最大值和最小值

190、.思路分析：若把x-3,x+l看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)Z间的关系，进而可转化求解.另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值.解法一：

191、

192、x-3Hx+11

193、W

194、(x-3)-(x+l)

195、=4,・・・-4W

196、x-3Hx+l

197、W4.・•.ym>n=-4.解法二：把函数看作分段函数.4,兀v—1,y=

198、x-3

199、-

200、x+l

201、=*2-2x,-l3.・・・-4WyW4.ymax=4,yn

202、iin=—4.绿色通道:对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果.【变式训练】若对任意实数，不等式Ix+l

203、-

204、x-2

205、>a恒成立，