高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析

《高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

8、a＋b

9、<

10、a

11、＋

12、b

13、，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a，b共线，当a与b同向时，

14、a＋b

15、＝

16、a

17、＋

18、b

19、，当a与b反向时，

20、a＋b

21、<

22、a

23、＋

24、b

25、.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则

26、

27、a

28、－

29、b

30、

31、≤

32、a±b

33、≤

34、a

35、＋

36、b

37、.(2)定理2：如果a，b，c

38、是实数，那么

39、a－c

40、≤

41、a－b

42、＋

43、b－c

44、.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

45、a－c

46、＝

47、a－b

48、＋

49、b－c

50、.当点B不在点A，C之间时：①点B在点A或点C上时，

51、a－c

52、＝

53、a－b

54、＋

55、b－c

56、；②点B不在点A，C上时，

57、a－c

58、<

59、a－b

60、＋

61、b－c

62、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．含绝对值不等式的判断与证明　　　已知

63、A－a

64、<，

65、B－b

66、<，

67、C－c

68、<.求证：

69、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

70、

71、

72、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

73、＝

74、(A－a)＋(B－b)＋(C－c)

75、≤

76、(A－a)＋(B－b)

77、＋

78、C－c

79、≤

80、A－a

81、＋

82、B－b

83、＋

84、C－c

85、.6因为

86、A－a

87、<，

88、B－b

89、<，

90、C－c

91、<，所以

92、A－a

93、＋

94、B－b

95、＋

96、C－c

97、<＋＋＝s.所以

98、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

99、

100、

101、a

102、－

103、b

104、

105、≤

106、a±b

107、≤

108、a

109、＋

110、b

111、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不

112、等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a，b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是(　　)A．

113、a＋b

114、>

115、a－b

116、　　　B．

117、a＋b

118、<

119、a－b

120、C．

121、a－b

122、<

123、

124、a

125、－

126、b

127、

128、D．

129、a－b

130、<

131、a

132、＋

133、b

134、解析：选B　∵ab<0且

135、a－b

136、2＝a2＋b2－2ab，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<

137、a－b

138、2.∴(

139、a

140、＋

141、b

142、)2＝a2＋b2＋2

143、ab

144、＝

145、a－b

146、2.故A、D不正确；B正确；又由定理1的推广知C不正确．2．设ε>0，

147、x－a

148、<，

149、y

150、－a

151、<.求证：

152、2x＋3y－2a－3b

153、<ε.证明：

154、2x＋3y－2a－3b

155、＝

156、2(x－a)＋3(y－b)

157、≤

158、2(x－a)

159、＋

160、3(y－b)

161、＝2

162、x－a

163、＋3

164、y－b

165、<2×＋3×＝ε.绝对值三角不等式的应用　(1)求函数y＝

166、x－3

167、－

168、x＋1

169、的最大值和最小值．(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若

170、a

171、≤1，求

172、f(x)

173、的最大值．　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．　(1)法一：

174、

175、x－3

176、－

177、x＋1

178、

179、≤

180、(x－3)－(x＋1)

181、＝4，∴－4≤

182、x－3

183、－

184、x＋1

185、≤4.∴ymax＝

186、4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．6y＝

187、x－3

188、－

189、x＋1

190、＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)∵

191、x

192、≤1，

193、a

194、≤1，∴

195、f(x)

196、＝

197、a(x2－1)＋x

198、≤

199、a(x2－1)

200、＋

201、x

202、＝

203、a

204、

205、x2－1

206、＋

207、x

208、≤

209、x2－1

210、＋

211、x

212、＝1－

213、x2

214、＋

215、x

216、＝－

217、x

218、2＋

219、x

220、＋1＝－2＋≤.∴

221、x

222、＝时，

223、f(x)

224、取得最大值.(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．(江西高考)x，y∈R，

225、若

226、x

227、＋

228、y

229、＋

230、x－1

231、＋

232、y－1

233、≤2，则x＋y的取值范围为________．解析：

234、x

235、＋

236、x－1

237、≥

238、x－(x－1)

239、＝1，

240、y

241、＋

242、y－1

243、≥

244、y－(y－1)

245、＝1，所以

246、x

247、＋

248、y

249、＋

250、x－1

251、＋

252、y－1

253、≥2，当且仅当x∈，y∈时，

254、x

255、＋

256、y

257、＋

258、x－1

259、＋

260、y－1

261、取得最小值2，而已知

262、x

263、＋

264、y

265、＋

266、x－1

267、＋

268、y－1

269、≤2，所以

270、x

271、＋

272、y

273、＋

274、x－1

275、＋

276、y－1

277、＝2，此时x∈，y∈，所以x＋y∈．答案：4．求函数f(x)＝

278、x－1

279、＋

280、x＋1

281、的最小值．解：∵

282、x－1

283、＋

284、x＋1

285、＝

286、1－x

287、＋

288、x＋1

289、≥

290、

291、1－x＋x＋1

292、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝

293、x－1

294、＋

295、x＋1

296、取得最小值2.5．若对任意实数，不等式

297、x＋1

298、－

299、x－2

300、>a恒成立，求a的取值