高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

8、a＋b

9、<

10、a

11、＋

12、b

13、，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a，b共线，当a与b同向时，

14、a＋b

15、＝

16、a

17、＋

18、b

19、，当a与b反向时，

20、a＋b

21、<

22、a

23、＋

24、b

25、.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则

26、

27、a

28、－

29、b

30、

31、≤

32、a±b

33、≤

34、a

35、＋

36、b

37、.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么

38、a－c

39、≤

40、a－b

41、＋

42、b－c

43、.当且仅当(a

44、－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

45、a－c

46、＝

47、a－b

48、＋

49、b－c

50、.当点B不在点A，C之间时：①点B在点A或点C上时，

51、a－c

52、＝

53、a－b

54、＋

55、b－c

56、；②点B不在点A，C上时，

57、a－c

58、<

59、a－b

60、＋

61、b－c

62、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．含绝对值不等式的判断与证明　　　已知

63、A－a

64、<，

65、B－b

66、<，

67、C－c

68、<.求证：

69、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

70、

71、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

72、＝

73、(A－a)＋(B－b)＋(C－c)

74、≤

75、(A－a)＋(B－b)

76、＋

77、C－c

78、≤

79、A－

80、a

81、＋

82、B－b

83、＋

84、C－c

85、.因为

86、A－a

87、<，

88、B－b

89、<，

90、C－c

91、<，所以

92、A－a

93、＋

94、B－b

95、＋

96、C－c

97、<＋＋＝s.所以

98、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

99、

100、

101、a

102、－

103、b

104、

105、≤

106、a±b

107、≤

108、a

109、＋

110、b

111、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a，b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是(　　)A．

112、a＋b

113、>

114、

115、a－b

116、　　　B．

117、a＋b

118、<

119、a－b

120、C．

121、a－b

122、<

123、

124、a

125、－

126、b

127、

128、D．

129、a－b

130、<

131、a

132、＋

133、b

134、解析：选B　∵ab<0且

135、a－b

136、2＝a2＋b2－2ab，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<

137、a－b

138、2.∴(

139、a

140、＋

141、b

142、)2＝a2＋b2＋2

143、ab

144、＝

145、a－b

146、2.故A、D不正确；B正确；又由定理1的推广知C不正确．2．设ε>0，

147、x－a

148、<，

149、y－a

150、<.求证：

151、2x＋3y－2a－3b

152、<ε.证明：

153、2x＋3y－2a－3b

154、＝

155、2(x－a)＋3(y－b)

156、≤

157、2(x－a)

158、＋

159、3(y－b)

160、＝2

161、x－a

162、＋3

163、y－b

164、<2×＋3×＝ε.绝对值三角不等式的应用　(1)求函数y＝

165、x－3

166、

167、－

168、x＋1

169、的最大值和最小值．(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若

170、a

171、≤1，求

172、f(x)

173、的最大值．　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．　(1)法一：

174、

175、x－3

176、－

177、x＋1

178、

179、≤

180、(x－3)－(x＋1)

181、＝4，∴－4≤

182、x－3

183、－

184、x＋1

185、≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝

186、x－3

187、－

188、x＋1

189、＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)∵

190、x

191、≤1，

192、a

193、≤1，∴

194、f(x)

195、＝

196、a(x2－1)＋x

197、≤

198、a(x2－1)

199、＋

200、x

201、＝

202、a

203、

204、x2－1

205、＋

206、x

207、≤

208、x2－1

209、＋

210、x

211、＝1－

212、x2

213、＋

214、x

215、＝－

216、x

217、

218、2＋

219、x

220、＋1＝－2＋≤.∴

221、x

222、＝时，

223、f(x)

224、取得最大值.(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．(江西高考)x，y∈R，若

225、x

226、＋

227、y

228、＋

229、x－1

230、＋

231、y－1

232、≤2，则x＋y的取值范围为________．解析：

233、x

234、＋

235、x－1

236、≥

237、x－(x－1)

238、＝1，

239、y

240、＋

241、y－1

242、≥

243、y－(y－1)

244、＝1，所以

245、x

246、＋

247、y

248、＋

249、x－1

250、＋

251、y－1

252、≥2，当且仅当x∈，y∈时，

253、x

254、＋

255、y

256、＋

257、x－1

258、＋

259、y－1

260、取得最小值2，而已知

261、x

262、＋

263、y

264、＋

265、x－1

266、＋

267、y－1

268、≤2，所以

269、x

270、＋

271、

272、y

273、＋

274、x－1

275、＋

276、y－1

277、＝2，此时x∈，y∈，所以x＋y∈．答案：4．求函数f(x)＝

278、x－1

279、＋

280、x＋1

281、的最小值．解：∵

282、x－1

283、＋

284、x＋1

285、＝

286、1－x

287、＋

288、x＋1

289、≥

290、1－x＋x＋1

291、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝

292、x－1

293、＋

294、x＋1

295、取得最小值2.5．若对任意实数，不等式

296、x＋1

297、－

298、x－2

299、>a恒成立，求a的取值范围