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《高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课堂导学案新人教A版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2.1绝对值三角不等式课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】已知
2、x-a
3、<,0<
4、y-b
5、<,y∈(0,M),求证:
6、xy-ab
7、<ε.思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:
8、xy-ab
9、=
10、xy-ya+ya-ab
11、=
12、y(x-a)+a(y-b)
13、≤
14、y
15、
16、x-a
17、+
18、a
19、
20、y-b
21、22、a
23、·=ε.温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键.【例2】求证:(ab≠0).证明:右边>,左边=,∵
24、a+b
25、≤
26、a
27、+
28、b
29、,∴.∴+1.
30、从而有≤∴左边<右边.温馨提示先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(x)=在x∈[0,+∞)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:31、a
32、33、b
34、35、a
36、=
37、
38、≤39、a
40、41、b
42、=
43、
44、≤45、b
46、47、a
48、≥
49、b
50、时,a2≥b2,即(a+b)(a-b)≥0,此时与同号或其中之一为0,则=
51、
52、=
53、a
54、55、a
56、<
57、b
58、时,a259、
60、+
61、
62、=
63、-
64、=
65、b
66、67、a
68、69、,
70、b
71、72、
73、+
74、
75、76、
77、+
78、
79、80、a
81、82、b
83、84、a+b+c
85、≤
86、a
87、+
88、b
89、+
90、c
91、,∴f(
92、a
93、+
94、b
95、+
96、c
97、)≥f(
98、a+b+c
99、),得二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】(1)设a、b∈R且
100、a+b+1
101、≤1,
102、a+2b+4
103、≤4,求
104、a
105、+
106、b
107、的最大值.解析:
108、a+b
109、=
110、(a+b+1)-1
111、≤
112、a+b+1
113、+
114、-1
115、≤1+1=2,
116、a-b
117、=
118、3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5
119、≤3
120、a+
121、b+1
122、+2
123、a+2b+4
124、+5≤3×1+2×4+5=16.(1)当ab≥0时,
125、a
126、+
127、b
128、=
129、a+b
130、≤2;(2)当ab<0时,则a(-b)>0,
131、a
132、+
133、b
134、=
135、a
136、+
137、-b
138、=
139、a+(-b)
140、≤16.总之,恒有
141、a
142、+
143、b
144、≤16.而a=8,b=-8时,满足
145、a+b+1
146、=1,
147、a+2b+4
148、=4,且
149、a
150、+
151、b
152、=16.因此
153、a
154、+
155、b
156、的最大值为16.(2)若f(x)=x2-2x+c,
157、x1-x2
158、<2,
159、x2
160、<1,求证:
161、f(x1)-f(x2)
162、<12.证明:
163、f(x1)-f(x2)
164、=
165、x12-2x1+c-x22+2x2-c
166、=
167、(x1
168、-x2)(x1+x2-2)
169、=
170、x1-x2
171、·
172、x1+x2-2
173、<2
174、x1+x2-2
175、=2
176、(x1-x2)+(2x2-2)
177、≤2(
178、x1-x2
179、+
180、2x2-2
181、)<4+2
182、2x2-2
183、≤4+2(
184、2x2
185、+
186、-2
187、)<4+4+4=12.∴
188、f(x1)-f(x2)
189、<12.类题演练2已知
190、a
191、<1,
192、b
193、<1,求证:
194、
195、<1.证明:由
196、a
197、<1,
198、b
199、<1,得1±a>0,1±b>0,则
200、
201、==1,从而
202、
203、<1.变式提升2证明对于任意实数t,复数z=+i的模r,适合不等式r≤.证明:r=,为证对于任意实数t有r≤,只要证
204、cost
205、+
206、sint
207、≤即可.(1
208、)当kπ≤t≤kπ+(k∈Z)时,则sint·cost≥0,依推论1,
209、cost
210、+
211、sint
212、=
213、sint+cost
214、=
215、sin(t+)
216、≤(2)当kπ+0,依推论1,
217、cost
218、+
219、sint
220、=
221、-cost
222、+
223、sint
224、=
225、sint-cost
226、=
227、sin(t-)
228、≤.总之,对于任意实数t,有
229、cost
230、+
231、sint
232、≤成立,即有r≤成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】(1)若不等式
233、x-4
234、+
235、x-3
236、>a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析:由
237、x-
238、4
239、+
240、x-3
241、≥
242、(x-4)-(x-3)
243、=1,得[
244、x-4
245、+
246、x-3
247、]min=1,故a的取值范围是{a
248、a<1}.(2)已知
249、cosx-cosy
250、=
251、cosx
252、+
253、cosy
254、,且y∈(,2π),则等于()A.cosx-cosyB.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不对解析:由
255、a-b
256、≤
257、a
258、+
259、b
260、知等号成立的条件是ab≤0.因为
261、cosx-cosy
262、=
263、cosx
264、+
265、cosy
266、,所以cosx·cosy≤0.又因y∈(,2π),所以cosy>0且cosx≤0,则上式=
267、cosx-cosy
268、=cosy-cosx,故应选B.答案:B
269、(3)解方程
270、x
271、+
272、logax
273、=
274、x+logax
275、(a>1).解析:由当且仅