高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课堂导学案新人教a版选修4

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1、1.2.1绝对值三角不等式课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】已知

2、x-a

3、<,0<

4、y-b

5、<,y∈(0,M),求证:

6、xy-ab

7、<ε.思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:

8、xy-ab

9、=

10、xy-ya+ya-ab

11、=

12、y(x-a)+a(y-b)

13、≤

14、y

15、

16、x-a

17、+

18、a

19、

20、y-b

21、

22、a

23、·=ε.温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键.【例2】求证:(ab≠0).证明：右边>,左边=,∵

24、a+b

25、≤

26、a

27、+

28、b

29、,∴.∴

30、+1.从而有≤∴左边<右边.温馨提示先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(x)=在x∈［0,+∞)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:

31、a

32、

33、b

34、

35、a

36、=

37、

38、≤

39、a

40、

41、b

42、=

43、

44、≤

45、b

46、

47、a

48、≥

49、b

50、时,a2≥b2,即(a+b)(a-b)≥0,此时与同号或其中之一为0,则=

51、

52、=

53、a

54、

55、a

56、<

57、b

58、时,a2

59、

60、+

61、

62、=

63、-

64、=

65、b

66、

67、当

68、a

69、

70、b

71、

72、

73、+

74、

75、

76、

77、+

78、

79、

80、a

81、

82、b

83、

84、a+b+c

85、≤

86、a

87、+

88、b

89、+

90、c

91、,∴f(

92、a

93、+

94、b

95、+

96、c

97、)≥f(

98、a+b+c

99、),得二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】(1)设a、b∈R且

100、a+b+1

101、≤1,

102、a+2b+4

103、≤4,求

104、a

105、+

106、b

107、的最大值.解析：

108、a+b

109、=

110、(a+b+1)-1

111、≤

112、a+b+1

113、+

114、-1

115、≤1+1=2,

116、a-b

117、=

118、3(a+b+1)-2(a+2b+4

119、)+5

120、≤3

121、a+b+1

122、+2

123、a+2b+4

124、+5≤3×1+2×4+5=16.(1)当ab≥0时,

125、a

126、+

127、b

128、=

129、a+b

130、≤2;(2)当ab<0时,则a(-b)>0,

131、a

132、+

133、b

134、=

135、a

136、+

137、-b

138、=

139、a+(-b)

140、≤16.总之,恒有

141、a

142、+

143、b

144、≤16.而a=8,b=-8时,满足

145、a+b+1

146、=1,

147、a+2b+4

148、=4,且

149、a

150、+

151、b

152、=16.因此

153、a

154、+

155、b

156、的最大值为16.(2)若f(x)=x2-2x+c,

157、x1-x2

158、<2,

159、x2

160、<1,求证:

161、f(x1)-f(x2)

162、<12.证明:

163、f(x1)-f(x2)

164、=

165、x12-2x1+c-x22

166、+2x2-c

167、=

168、(x1-x2)(x1+x2-2)

169、=

170、x1-x2

171、·

172、x1+x2-2

173、<2

174、x1+x2-2

175、=2

176、(x1-x2)+(2x2-2)

177、≤2(

178、x1-x2

179、+

180、2x2-2

181、)<4+2

182、2x2-2

183、≤4+2(

184、2x2

185、+

186、-2

187、)<4+4+4=12.∴

188、f(x1)-f(x2)

189、<12.类题演练2已知

190、a

191、<1,

192、b

193、<1,求证:

194、

195、<1.证明:由

196、a

197、<1,

198、b

199、<1,得1±a>0,1±b>0,则

200、

201、==1,从而

202、

203、<1.变式提升2证明对于任意实数t,复数z=+i的模r,适合不等式r≤.证明:r=,为证对于任意实数t有r≤,只要证

204、cos

205、t

206、+

207、sint

208、≤即可.(1)当kπ≤t≤kπ+(k∈Z)时,则sint·cost≥0,依推论1,

209、cost

210、+

211、sint

212、=

213、sint+cost

214、=

215、sin(t+)

216、≤(2)当kπ+0,依推论1,

217、cost

218、+

219、sint

220、=

221、-cost

222、+

223、sint

224、=

225、sint-cost

226、=

227、sin(t-)

228、≤.总之,对于任意实数t,有

229、cost

230、+

231、sint

232、≤成立,即有r≤成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】(1)若不等式

233、x-4

234、+

235、x-3

236、>a对一切实数x恒成立

237、,求实数a的取值范围.解析：由

238、x-4

239、+

240、x-3

241、≥

242、(x-4)-(x-3)

243、=1,得［

244、x-4

245、+

246、x-3

247、］min=1,故a的取值范围是{a

248、a<1}.(2)已知

249、cosx-cosy

250、=

251、cosx

252、+

253、cosy

254、,且y∈(,2π),则等于()A.cosx-cosyB.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不对解析:由

255、a-b

256、≤

257、a

258、+

259、b

260、知等号成立的条件是ab≤0.因为

261、cosx-cosy

262、=

263、cosx

264、+

265、cosy

266、,所以cosx·cosy≤0.又因y∈(,2π),所以cosy>0且cosx≤0,则上式=

267、cosx-cosy

268、

269、=cosy-cosx,故应选B.答案:B(3)解方程

270、x

271、+

272、logax

273、=

274、x+logax

275、(a>1).解析:由当且仅