高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课堂导学案新人教a版选修4

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1、1.2.2绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】解下列不等式:(1)1<

2、x+2

3、<5;(2)

4、3-x

5、+

6、x+4

7、>8.解析：(1)法一:原不等式故原不等式的解集为{x

8、-1

9、-1或x<.∴原不等式的解集为{x

10、x<或x>}.法二:将原不等式转化为

11、x-3

12、+

13、x+4

14、-8>0,构造函数y=

15、x-3

16、+

17、x+4

18、-8,即y=作出函数的图象如图.从图象可知当x>或x<时,y>0,故原不等式

19、的解集为{x

20、x>或x<}.温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,

21、x

22、

23、x

24、>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.各个击破类题演练1解下列不等式:(1)

25、

26、≤1;(2)

27、x+3

28、-

29、2x-1

30、>+1.解析:(1)原不等式-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.故原不等式的解集为{x

31、-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}.(2)由x+3=0,得x1=-3,由2x-1=0,得x2=.①当x<-3时,不等式化为x-4>+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解;②当-3≤x<时,不等式化为3x+2>+1,解得x>,这时不等式的解为

32、等式化为-x+4>+1,即x<2,这时不等式的解为≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x

33、

34、x2-5x+5

35、<1.解析:不等式可化为-1

36、1

37、x-4

38、+

39、x-3

40、有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)

41、有解条件为>4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求

42、PA

43、+

44、PB

45、

46、AB

47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于)1,即

48、x-4

49、+

50、x-3

51、≥1,故当a>1时,

52、x-4

53、+

54、x-3

55、

56、x-4

57、+

58、x-3

59、=

60、x-4

61、+

62、3-x

63、≥

64、x-4+3-x

65、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式

66、x2-9

67、≤x+3.解

68、析：方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x

69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x

70、x=-3或2≤x≤4}.温馨提示对于

71、f(x)

72、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式

73、2x-1

74、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-1

75、①②知原不等式的解集为{x

76、x<}.变式提升2(1)解不等式

77、x2-3x+2

78、>x2-3

79、x

80、+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=

81、x2-3x+2

82、和y=x2-3

83、x

84、+2=

85、x

86、2-3

87、x

88、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x

89、x<0或1

90、x+1

91、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则

92、x+1

93、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x

94、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当

95、x

96、≤1时,总有

97、f(x)

98、≤1,求证

99、:当

100、x

101、≤2时,

102、f(x)

103、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,

104、f(x)

105、在［-2,2］上的最大值只能是

106、f(2)

107、,

108、f(-2)

109、或

110、f()

111、,故只要证明

112、f(2)

113、≤7,

114、f(-2)

115、≤7;当

116、

117、≤2时,有

118、f()

119、≤7.由题意有

120、f(0)

121、≤1,

122、f(-1)

123、≤1,

124、f(1)

125、≤1.由∴

126、f(2)

127、=

128、4a+2b+c

129、=

130、3f(1)+f(-1)-3f(0)

131、≤3

132、f(1)

133、+

134、f(-1)

135、+3

136、f(0)

137、≤3+1+3=7,

138、f(-2)

139、=

140、4a-2b+c

141、=

142、f(1)+3f(-1)