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时间:2020-07-04
《高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课堂学案新人教A版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2.2绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】解下列不等式:(1)1<
2、x+2
3、<5;(2)
4、3-x
5、+
6、x+4
7、>8.解析:(1)法一:原不等式故原不等式的解集为{x
8、-19、-1或x<.∴原不等式的解集为{x10、x<或x>}.法二:将原不等式转化为11、x-312、+13、x+414、-8>0,构造函数y=15、x-316、+17、x+18、419、-8,即y=作出函数的图象如图.从图象可知当x>或x<时,y>0,故原不等式的解集为{x20、x>或x<}.温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,21、x22、23、x24、>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.各个击破类题演练1解下列不等式:(1)25、26、≤1;(2)27、x+328、-29、2x-130、>+1.解析:(1)原不等式-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.故原不等式的解集为{x31、-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}.(2)由x+3=0,得x1=-3,由2x-1=0,得x2=.①当x<-32、3时,不等式化为x-4>+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解;②当-3≤x<时,不等式化为3x+2>+1,解得x>,这时不等式的解为+1,即x<2,这时不等式的解为≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x33、34、x2-5x+535、<1.解析:不等式可化为-136、137、x-438、+39、x-340、41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求42、PA43、+44、PB45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
9、-1或x<.∴原不等式的解集为{x
10、x<或x>}.法二:将原不等式转化为
11、x-3
12、+
13、x+4
14、-8>0,构造函数y=
15、x-3
16、+
17、x+
18、4
19、-8,即y=作出函数的图象如图.从图象可知当x>或x<时,y>0,故原不等式的解集为{x
20、x>或x<}.温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,
21、x
22、23、x24、>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.各个击破类题演练1解下列不等式:(1)25、26、≤1;(2)27、x+328、-29、2x-130、>+1.解析:(1)原不等式-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.故原不等式的解集为{x31、-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}.(2)由x+3=0,得x1=-3,由2x-1=0,得x2=.①当x<-32、3时,不等式化为x-4>+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解;②当-3≤x<时,不等式化为3x+2>+1,解得x>,这时不等式的解为+1,即x<2,这时不等式的解为≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x33、34、x2-5x+535、<1.解析:不等式可化为-136、137、x-438、+39、x-340、41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求42、PA43、+44、PB45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
23、x
24、>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.各个击破类题演练1解下列不等式:(1)
25、
26、≤1;(2)
27、x+3
28、-
29、2x-1
30、>+1.解析:(1)原不等式-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.故原不等式的解集为{x
31、-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}.(2)由x+3=0,得x1=-3,由2x-1=0,得x2=.①当x<-
32、3时,不等式化为x-4>+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解;②当-3≤x<时,不等式化为3x+2>+1,解得x>,这时不等式的解为+1,即x<2,这时不等式的解为≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x
33、34、x2-5x+535、<1.解析:不等式可化为-136、137、x-438、+39、x-340、41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求42、PA43、+44、PB45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
34、x2-5x+5
35、<1.解析:不等式可化为-136、137、x-438、+39、x-340、41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求42、PA43、+44、PB45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
36、137、x-438、+39、x-340、41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求42、PA43、+44、PB45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
37、x-4
38、+
39、x-3
40、41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求42、PA43、+44、PB45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
41、解法一:将数轴分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求
42、PA
43、+
44、PB
45、46、AB47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于48、(等于)1,即49、x-450、+51、x-352、≥1,故当a>1时,53、x-454、+55、x-356、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
46、AB
47、=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于
48、(等于)1,即
49、x-4
50、+
51、x-3
52、≥1,故当a>1时,
53、x-4
54、+
55、x-3
56、57、x-458、+59、x-360、=61、x-462、+63、3-x64、≥65、x-4+3-x66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式67、x2-968、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x70、x=-3或2≤x≤71、4}.温馨提示对于72、f(x)73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式74、2x-175、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
57、x-4
58、+
59、x-3
60、=
61、x-4
62、+
63、3-x
64、≥
65、x-4+3-x
66、=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式
67、x2-9
68、≤x+3.解析:方法一:原不等式由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x
69、2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x
70、x=-3或2≤x≤
71、4}.温馨提示对于
72、f(x)
73、≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,另一种则是转化为来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式
74、2x-1
75、>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-176、x<}.变式提升2(1)解不等式77、x2-3x+278、>x2-379、x80、+2.解析81、:在同一坐标系内分别画出函数y=82、x2-3x+283、和y=x2-384、x85、+2=86、x87、2-388、x89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
76、x<}.变式提升2(1)解不等式
77、x2-3x+2
78、>x2-3
79、x
80、+2.解析
81、:在同一坐标系内分别画出函数y=
82、x2-3x+2
83、和y=x2-3
84、x
85、+2=
86、x
87、2-3
88、x
89、+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x
90、x<0或191、x+192、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则93、x+194、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当96、x97、≤1时,总有98、f(x)99、≤1,求证:当100、x101、≤2时,102、f(103、x)104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,105、f(x)106、在[-2,2]上的最大值只能是107、f(2)108、,109、f(-2)110、或111、f()112、,故只要证明113、f(2)114、≤7,115、f(-2)116、≤7;当117、118、≤2时,有119、f()120、≤7.由题意有121、f(0)122、≤1,123、f(-1)124、≤1,125、f(1)126、≤1.由∴127、f(2)128、=129、4a+2b+c130、=131、3f(1)+f(-1)-3f(0)132、≤3133、f(1)134、+135、f(-1)136、+3137、f(0)138、≤3+1+3=7,139、f(-2)140、=141、4a-2b+c142、=143、f(1)+3f(-1)
91、x+1
92、(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则
93、x+1
94、>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x
95、x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当
96、x
97、≤1时,总有
98、f(x)
99、≤1,求证:当
100、x
101、≤2时,
102、f(
103、x)
104、≤7.证明:由于f(x)是二次函数,
105、f(x)
106、在[-2,2]上的最大值只能是
107、f(2)
108、,
109、f(-2)
110、或
111、f()
112、,故只要证明
113、f(2)
114、≤7,
115、f(-2)
116、≤7;当
117、
118、≤2时,有
119、f()
120、≤7.由题意有
121、f(0)
122、≤1,
123、f(-1)
124、≤1,
125、f(1)
126、≤1.由∴
127、f(2)
128、=
129、4a+2b+c
130、=
131、3f(1)+f(-1)-3f(0)
132、≤3
133、f(1)
134、+
135、f(-1)
136、+3
137、f(0)
138、≤3+1+3=7,
139、f(-2)
140、=
141、4a-2b+c
142、=
143、f(1)+3f(-1)
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