高中数学第1讲不等式和绝对值不等式2.1绝对值三角不等式学案新人教a版选修4

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1、1.绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1　绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值

2、a

3、表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么

4、a－b

5、的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2　绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”

6、以上部分，完成下列问题．1．定理1　如果a，b是实数，则

7、a＋b

8、≤

9、a

10、＋

11、b

12、，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式

13、a＋b

14、<

15、a

16、＋

17、b

18、，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于

19、a

20、－

21、b

22、≤

23、a＋b

24、≤

25、a

26、＋

27、b

28、，下列结论正确的是(　　)A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立【解析】　当a，b异号且

29、a

30、＞

31、b

32、时左边等号才成立，A不正确

33、；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．【答案】　B教材整理3　三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2　如果a，b，c是实数，那么

34、a－c

35、≤

36、a－b

37、＋

38、b－c

39、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．设

40、a

41、＜1，

42、b

43、＜1，则

44、a＋b

45、＋

46、a－b

47、与2的大小关系是(　　)A．

48、a＋b

49、＋

50、a－b

51、＞2B．

52、a＋b

53、＋

54、a－b

55、＜2C．

56、a＋b

57、＋

58、a－b

59、＝2D.不可能比较大小【解析】　当(a＋b)(a－b)≥0时，

60、a＋b

61、＋

62、a－b

63、＝

64、(a＋b)＋

65、(a－b)

66、＝2

67、a

68、＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，

69、a＋b

70、＋

71、a－b

72、＝

73、(a＋b)－(a－b)

74、＝2

75、b

76、＜2.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]运用绝对值不等式求最值与范围　对任意x∈R，求使不等式

77、x＋1

78、＋

79、x＋2

80、≥m恒成立的m的取值范围．【精彩点拨】　令t＝

81、x＋1

82、＋

83、x＋2

84、，只需m≤tmin.【自主解答】　法一　对x∈R，

85、x＋1

86、＋

87、x＋2

88、≥

89、(x＋1)－(x＋2)

90、＝1，当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－

91、2≤x≤－1时取等号．∴t＝

92、x＋1

93、＋

94、x＋2

95、的最小值为1，故m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．法二　t＝

96、x＋1

97、＋

98、x＋2

99、＝∴t≥1，则t＝

100、x＋1

101、＋

102、x＋2

103、的最小值为1，故m≤1.因此实数m的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．[再练一题]1．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝

104、2x－a

105、＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝

106、2x－1

107、.当x∈R时，f(x)

108、＋g(x)≥3，求a的取值范围．【解】　(1)当a＝2时，f(x)＝

109、2x－2

110、＋2.解不等式

111、2x－2

112、＋2≤6，得－1≤x≤3.因为f(x)≤6的解集为{x

113、－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝

114、2x－a

115、＋a＋

116、1－2x

117、≥

118、2x－a＋1－2x

119、＋a＝

120、1－a

121、＋a，当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于

122、1－a

123、＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．含绝对值不等式的证明　设m等于

124、a

125、，

126、b

127、和1中最大的一个，当

128、

129、x

130、>m时，求证：<2.【精彩点拨】　不管

131、a

132、，

133、b

134、,1的大小，总有m≥

135、a

136、，m≥

137、b

138、，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．【自主解答】　依题意m≥

139、a

140、，m≥

141、b

142、，m≥1.又

143、x

144、>m，∴

145、x

146、>

147、a

148、，

149、x

150、>

151、b

152、，

153、x

154、>1，从而

155、x

156、2>

157、b

158、.因此≤＋＝＋<＋＝2，即<2.1．将文字语言“m等于

159、a

160、，

161、b

162、,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥

163、a

164、，m≥

165、b

166、，m≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[再练一题]2．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且

167、x－a

168、

169、<1，求证：

170、f(x)－f(a)

171、<2(

172、a

173、＋1