高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.1不等式的基本性质学案新人教a版选修4

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1、1.不等式的基本性质1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　两实数的大小比较阅读教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列问题．a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a

2、x

3、与

4、y

5、对应的点P，Q的位置关系是(　　)A．P在Q的左边　B．P在Q的右边C．P，Q两点重合D.不能确定【解析】　∵x＜y＜0，∴

6、x

7、＞

8、y

9、＞0.故P在Q的右边．【答案】　B教材整理2　不等式的基本性质阅读教材P3～P5第一行

10、，完成下列问题．性质1对称性a>b⇔bb，b>c，那么a>c性质3可加性如果a>b，那么a＋c>b＋c推论如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d性质4可乘性如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb>0，c>d>0，那么ac>bd性质5乘方性质如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)性质6开方性质如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是(　　)【导学号：32750000】A．a＞b⇒am2＞bm2B.＞⇒a＞bC．a3＞b3⇒＜D.a2＞b2⇒a＞b【解析】　

11、对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，∵a2＋ab＋b2＝＋b2＞0恒成立，∴a－b＞0，∴a＞b.又∵ab＞0，∴＜.∴C成立；对于D，a2＞b2⇒(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b.【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]比较大小　设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．【精彩点拨】　转化为考察“两者之差与0”的大小关系．【自主解答】　A－B＝x3＋3－3x2－x＝x2

12、(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，∴x3＋3>3x2＋x.故A>B.1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．[再练一题]1．若例1中改为“A＝，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．【解】　因为A2－B2＝－＝＝＝，且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，所以＞0.所以A2＞B2，又A＞0，

13、B＞0，故有A＞B.利用不等式的性质求范围　已知－≤α＜β≤，求，的范围．【精彩点拨】　由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围．【自主解答】　∵－≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤，∴－＜＜.又－＜≤，∴－≤－＜，∴－≤＜.又∵α＜β，∴＜0，∴－≤＜0，即∈，∈.1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．[再练一题]2．已知－6

14、,2a>b>0，求证：>.【精彩点拨】　→→【自主解答】　∵a>b，∴－a<－b.又c>a>b>0，∴0>0.又∵a>b>0，∴>.1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0

15、到不等式的乘法性质．2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．[再练一题]3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞.【导学号：32750002】【证明】　∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴＞＞0，①＞＞0，②①＋②得＋＞＋＞0，即＞＞0，∴＞.[探究共研型]不等式的基本性质探究1　甲同学认为a>b⇔<，乙同学认为a>b>0⇔<，丙同学认为a>b，ab>0⇔<，请你思考一下