高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.2基本不等式学案新人教a版选修4

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1、2.基本不等式1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．(重点)3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1　两个定理及算数平均与几何平均阅读教材P5～P6“例3”以上部分，完成下列问题．1．两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时，等号成立定理2≥(a，b＞0)当且仅当a＝b时，等号成立2.算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均．下列不等式中，正确的个数是(　　)①若a，b∈R，则≥；②若x∈R，

2、则x2＋2＋≥2；③若x∈R，则x2＋1＋≥2；④若a，b为正实数，则≥.A．0B．1C．2D.3【解析】　显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.【答案】　C教材整理2　利用基本不等式求最值阅读教材P6～P8，完成下列问题．已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2；(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最值时x的值是________.【导学号：32750006】

3、【解析】　f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号．【答案】　－10　±[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]利用基本不等式证明不等式　已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.【精彩点拨】　观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0，∴＋b≥2＝2a，同理：＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加得：＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形

4、或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．[再练一题]1．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.【证明】　∵x，y，z都是正数，∴＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.利用基本不等式求最值　设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．【精彩点拨】　由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的

5、条件．【自主解答】　由x－2y＋3z＝0，得y＝，∴＝＝≥＝3.当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.【答案】　31．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．[再练一题]2．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值.【导学号：32750007】【解】　∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋

6、y)＝＋＋10≥2＋10＝16.当且仅当＝，即y＝3x时等号成立．又＋＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.基本不等式的实际应用　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化

7、妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】　(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．【自主解答】　(1)由题意可设3－x＝(k＞0)，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝