高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式素材1新人教A版选修4-5

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1、1.2绝对值不等式庖丁巧解牛知识•巧学一、绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数,贝i」

2、a+b

3、W

4、a

5、+

6、b

7、,当且仅当abMO时,等号成立.定理1的等号成立的情况具体來说，当沪0或b二0时，或a>0、b>0时，或以0,b〈0时，等号都是成立的，即有

8、a+b

9、=

10、a

11、+

12、b

13、.除此之外，就是

14、a+b

15、<

16、a

17、+

18、b

19、T.如果把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b,贝IJ定理1的形式仍II」成立.即有

20、a+b

21、W

22、a

23、+

24、b

25、成立，当且仅当向量a,b不共线时，有

26、a+bI

27、+1b

28、成立.联想发散根据定理1,我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：(1)如果a,

29、b是实数，那么

30、a

31、-

32、b

33、土b

34、W

35、a

36、+

37、b

38、.(2)

39、ai+a2+a3+•••+an

40、WIai

41、+

42、a2

43、+

44、a3!+•••+!a„

45、(n^N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b,且向量a,b不共线吋，所成立的不等式

46、a+b

47、<

48、a

49、+

50、b

51、.绝对值三角不等式即向最不等式

52、a+b

53、

54、a

55、+1b

56、的几何意义就是三角形的两边之和人于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三用不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1,那么这个绝对值三角不等式也就记住了.

57、,当且仅当(旷b)(b-c)NO时，等号3•定理2如果a,b,

58、c是实数，那么

59、成立.对于定理2,同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b,只有右边才有.学法一得要注意

60、a-c

61、可以变形为

62、(a-b)+(b-c)

63、,熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法耍熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复朵的绝对值不等式的革础，即要记住：—般地,如果a〉0,则有:

64、x

65、〈aO-a

66、x

67、

68、x

69、>aOx<-a或x>a,因此，不等式

70、x

71、>a的解集是(-00,-a)U(a,+°°)・1.

72、ax+b

73、Wc和

74、ax+b

75、Me型不等式的解

76、法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用

77、x

78、〈a或

79、x

80、>a的不等式的解法即可.1.

81、x-a.

82、+1x-b

83、Wc和

84、x~a

85、+1x~b

86、3c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)分区间讨论法；(3)构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题n的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采収相应的方法來求解.典题•热题知识点一：与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1若

87、x-a

88、

89、y-a

90、

91、下列不等式一定成立的是()A.x-y.<2mB.

92、x-y

93、<2nc.x-y〈n-mD.x-y

94、

95、x・y

96、与

97、x-a

98、,

99、y-a

100、Z间的关系，不难发现通过适当变形就nJ运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了，具体解题过程为：

101、x-y

102、=

103、x-a-(y-a)

104、W

105、x-a

106、+1y-a

107、

108、x-y

109、=

110、x-a-(y-a)

111、就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式.nJ+/广例2已知a^b、c、d都是实数，JIa2+b2=m2,c2+d2

112、=n2(m>0,n>0),求证：

113、ac+bd

114、W.2思路分析：证明此题时，可将ac、bd分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了.证明:Va>b、c、dER,22j2j2

115、ac+bd

116、W

117、ac

118、+1bd

119、W°十。H+22a2+b2c2+d2R2+r2=+二,222r2r2：.ac+bd

120、W・2误区警示2『2如果利用QbW乞也來证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利川较严格的公式222来证明就不易出错了•因此同学们要注意公式的适吋选用.2知识点二：绝对值不等式的解法例3解关于x的不等式

121、2x-l

122、<2m-l(meR).思路分析：要注意对加-1的正负情况进行讨论.解：若2mTW0,即

123、mW丄，贝lJ

124、2xT

125、〈2mT恒不成立,此时,原不等式无解;2若2mT>0,即m>—,贝IJ-(2mT)<2xT<2m-1,所以l-m丄时，原不等式的解集为：｛x

126、.2方法归纳对于不等号右侧是含冇参数的式了的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论來求解.例4解不等式3^

127、x-2

128、<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对