高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式素材新人教A版选修4-5

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1、1.1不等式庖丁巧解牛知识•巧学一、不等式的基本性质1.比较实数大小的充要条件对于任意两个实数a,b有且只有下列三种情况之--成立：a>bOa-b>0;a〈boa-b<0;a=ba-b二0.深化升华(1)上面的关系式沟通了实数人小的儿何意义和代数意义z间的联系，是比较两个实数大小，以及用比较法证明不等式的出发点，也是这一讲内容的基础.(2)两个实数比较大小，常川作差法，作差法的步骤是：①作差；②变形(分解因式，配方法)；③判断差的符号；④结论.记忆要诀“三步一结论”.其中"判断差的符号”是口的，“变形

2、”是关键.2.不等式的性质(1)对称性：a>b<=>bb,b>c=>ab=>a+cb,c>0=>ac>bc.a>b,c<0=>acb>0an>bn(nN,n2).(6)开方：a>b〉0二>亦>丽(nWN,n22)・(7)a>b,c>d=>a+c>b+d.(8)a>b>0,c>d>0=>ac>bd.误区彳不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面•从应川的角度看，单向性主要川于证明不等式；双向性是

3、解不等式的基础，当然也用于证明不等式•在这些性质屮，乘(除)法性质的应用最容易岀错，所以在利用不等式性质推证不等式吋，要紧扣不等式性质成立的条件.二、基木不等式1.定理1：设a,beR,则a2+b2>2ab,当且仅当沪b时,等号成立.2.定理2：如果a,b为正数，则纟必三丁亦，当且仅当沪b时等号成立.23.定理3：如果a,b,c为正数，则竺也兰事劝赢，当且仅当沪b=c时等号成立.34.一般结论：如果ai,a2,…，an为n个正数，则——认“…勺，n当且仅当&二玄2二…二an时,等号成立.学法一得(1

4、)在利用定理2、定理3这两个平均值不等式求授大(小)值问题时，必须满足三条:-正、二定、三相等.也就是，第一，均为正数；第二，求积的最大值吋，应看和是否为定值，求和的最小值吋，应看积是否为定值；第三，等号成立时条件是否具备.应用一般结论求最值也要注意上述条件.（2）为了达到使川基本不等式求最值的目的，常常需要对代数式进行通分、分解变形、构造和为定值或积为定值的模型.联想发散如果在某些特定条件下，一个不等式转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要，它们为解决某些有关

5、优化的极值问题提供了理论基础.典题・热题知识点一：不等式的基本性质例1对于实数a,b,c,有下列命题:①若a>b,则acbc2,则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0,则一——>———；⑤若a>b,—>—,则a>0,b<0.其中真命题c-ac-bab的个数是（）A.2B.3C.4D.5思路分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，要注意条件与结论Z间的联系.®c为正、负或是零未知，因而判断ac与be的大小缺乏依据，故该命题是假命题.②山ac2>bc2知cH

6、O,乂（?>0,Aa>b是真命题.③°<&°]=>『>ab,"°Ob',・••该命题为真命a<0Jb-a<-b=>c-aa,・*.c-a>0,・•・0〈c-a〈c-b•两边同乘以,得——>——,又a>b>0,（c-a^c-b）c-ac-b―-—>―-—.故该命题为真命题•⑤由已知条件知c-ac-ba>b=>a~b>0,—>—=>——-丄>0=>———>0,Va~b>0,b~a<0,Aab<0,又a>b,/•a>0,b<0,ababab故该命题为頁•命题.综上"

7、J矢II,命题②③④⑤都是真命题.答案：C误区警示通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质,更好地掌握各性质的条件和结论.另外，若要判断命题为真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣冇关定理、性质等,若判断命题为假命题只需举一反例.知识点二：用基本不等式证明条件不等式

8、1?5例2己知a>0,b>0,a+b=l,求证：（a+—）（b+—）鼻一.ab4思路分析：本题不能由（a+丄）$2,（b+丄）22求解.因为此两式当仅当a=l,b=l时成立,ab而由a+b二1这显然是不可能的，由要证的结论不易

9、看出解题思路，可先将左边展开，进行“拆”“配”•证明：左二(d+丄)(b+—)=ab+—+—+—=(y[ab——)2+—+—+2.abababy]ababVa>0,b>0,.*.-+-^2,又Va>0,b>0,a»b=l,・・・a+b$2后.ba4cibW丄,J—^2,-y/abM—丄,/.(J_-y[ab)—,24ab24ab2•*.(Vcib-]—)2^—■,4ab49251・・.左^2+2+-=—(当且仅当沪b二一时取等号).422方法归纳一般的，