高中数学第一讲不等式和绝对值不等式单元整合素材新人教A版选修4-5

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1、第一讲不等式和绝对值不等式单元整合知识网络专题探究专题一不等式性质的应用利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，进行数值或代数式大小的比较，这些常用到分类讨论的思想.应用若已，〃是任意实数，且曰>力，则（）A.C.lg(a-Z>)>0提示：为提窩解题速度，特殊值法与不等式性质的运用可以交替进行.解析：a>b并不保证日，0均为正数，从而不能保证选项A,B成立.又a>bna—b>0,但不能保证a-b>,从Ifij不能保证选项C成立.显然只有选项D成立,减函数,且自>0,(分V分.答案：D专题二平均不等式定理1：如果耳，0WR,那么/+畑2",当且仅当a=b时,等号成立.定理2：如果仪，

2、Z?>0,那么弓'纠层，当H.仅当a=b时，等号成立.定理3：如果曰，b,c$R+,那么眾嬴,当且仅当&=Z?=c吋，等号成立.算术儿何平均不等式：⑴如果外G,…，&GR+,刀>1且用N卜，则"*"*…*弘叫做这刀个正数的算术n平均，勺&(2叫做这刀个正数的儿何平均；(2)推广到一般情形：对于刀个正数・・•，弘，它们的算术平均不小于它们的几何'卜均，即~M褊曲…乩,当且仅当a=&!=•••=an时，等号成立.nv语言表述：n个正数的算术平均不小于它们的儿何平均.(3)£^空鼻寸五的儿何解释：如图，以a+b为直径作圆，在直径初上取一点G过C作弦〃〃丄肋交肋于G则CIJ=CA•CB=ab,从

3、而CD=y[Tb,则半径CD=y[ab.应用若x,y>0,设Qlx、G(x,y)=y[^,Hix,y)2=—,求证：Qlx、y)y)y).一+一证明：・・・(耳芥仝护笑±宁宜=牛y）三力匕，y）・由基本不等式，得y）^G{x,y）.Hix,y)=2xy2xy^+y^2^xy=y[xy=G{x,y),即GO,y)y).综上所述：0(x,y)y)3G(x,y)鼻〃(x,y),专题三利用平均不等式求最大（小）值重耍的结论:已知匕y都是正实数，贝山⑴如果积刃是定值P,那么当x=y时，和卄y有最小值2“（2）如果和x+y是定值S,那么当％=01寸，积刃有最大值牛空Q应用1求函数尸2#+-匕＞0）的最

4、小值.下列解法是否匸确？为什么?X312解法一：尸2#+;=2#+;+产-・2=3%,.•.%in=3%.XX2,J

5、设计一•幅宣传画,要求画面血积为4840cmXX解法二错在2侮不是定值（常数）•,画血的宽与高的比为久（久＜1）,画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空口.怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小？捉示：在应用平均不等式解决这类实际问题时，应注意：①设变量，一般把要求最大值和最小值的变虽设为函数；②建立相丿应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题;③在定义域内，求函数的最人值或最

6、小值.设纸张面积为5cm2,则S=(x+4840解：设呦面的宽为xcm,则画面的高为cnbx3025/=6760.xx<4840,A(,3025、10)1—+16l=5000+16,%+—戶5000+16X2当R仅当尸丄竺，即％=55时，S取得最小值.X4«40rrkcm,宽为55cm时,才能使所用纸此时高卡亍=88,^=^=-<1.故画面的高为88张面积最小.专题四含有绝对值的不等式的证明证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质Z外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:(X)a+b^a+b,(2)a-b^a+b；(3)a•b

7、=a*b；⑷持=唸1(方HO).应用已知:x—a<^yy~b<^.求证：I(x+y)—(盘+方)I

8、引+

9、引$山+川对于任意实数都成立即可.含有绝对值的不等式的证明中，常常利用

10、引鼻已，丨引鼻一已及绝对值的和的性质.证明：Id+y)—(日+b)I=

11、{x—ci)+(y—力)

12、WIx—a+y~b・①*•*x~aV*,y~b

13、=c.②由①②，得

14、(%+y)—(a+Z?)

15、

16、不等式的解法关于含冇绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式.下面分别就这两类问题展开探讨.1.解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式.主耍的依据是绝对值的定义.在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值，即

17、”=x.QO,O,x=0,—x、KO.2.含有绝对值的不筹式有两种基本的类型.第一种类型：设自为正数.根据绝对值