高中数学第一讲不等式和绝对值不等式单元整合学案新人教a版选修4

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1、第一讲不等式和绝对值不等式单元整合知识网络专题探究专题一　不等式性质的应用利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，进行数值或代数式大小的比较，这些常用到分类讨论的思想．若a，b是任意实数，且a＞b，则(　　)A．a2＞b2B．＜1C．lg(a－b)＞0D．a＜b提示：为提高解题速度，特殊值法与不等式性质的运用可以交替进行．解析：a＞b并不保证a，b均为正数，从而不能保证选项A，B成立．又a＞ba－b＞0，但不能保证a－b＞1，从而不能保证选项C成立．显然只有选项D成立，∵y＝x是减函数，且a＞b，∴a＜b.答案：D专题二　平均不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且

2、仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．算术几何平均不等式：(1)如果a1，a2，…，an∈R＋，n＞1且n∈N＋，则叫做这n个正数的算术平均，叫做这n个正数的几何平均；(2)推广到一般情形：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．语言表述：n个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(3)≥的几何解释：如图，以a＋b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD′⊥AB交AB于C，则CD2＝CA·CB＝

3、ab，从而CD＝，则半径≥CD＝.若x，y＞0，设Q(x，y)＝，A(x，y)＝，G(x，y)＝，H(x，y)＝，求证：Q(x，y)≥A(x，y)≥G(x，y)≥H(x，y)．证明：∵2＝≤＝，∴≥，即Q(x，y)≥A(x，y)．由基本不等式，得A(x，y)≥G(x，y)．H(x，y)＝≤＝＝G(x，y)，即G(x，y)≥H(x，y)．综上所述：Q(x，y)≥A(x，y)≥G(x，y)≥H(x，y)．专题三　利用平均不等式求最大(小)值重要的结论：已知x，y都是正实数，则：(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大

4、值S2.求函数y＝2x2＋(x＞0)的最小值．下列解法是否正确？为什么？解法一：y＝2x2＋＝2x2＋＋≥3＝3，∴ymin＝3.解法二：y＝2x2＋≥2＝2，当且仅当2x2＝，即x＝时，ymin＝2＝2＝2.解：题目中两种解法均有错误．解法一错在等号不成立，即不存在x，使得2x2＝＝；解法二错在2不是定值(常数)．正确的解法是：y＝2x2＋＝2x2＋＋≥3＝3＝，当且仅当2x2＝，即x＝时，ymin＝.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小

5、？提示：在应用平均不等式解决这类实际问题时，应注意：①设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；③在定义域内，求函数的最大值或最小值．解：设画面的宽为xcm，则画面的高为cm，设纸张面积为Scm2，则S＝(x＋10)＝5000＋16≥5000＋16×2＝6760.当且仅当x＝，即x＝55时，S取得最小值．此时高＝88，λ＝＝＜1.故画面的高为88cm，宽为55cm时，才能使所用纸张面积最小．专题四　含有绝对值的不等式的证明证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的

6、性质：(1)

7、a

8、＋

9、b

10、≥

11、a＋b

12、；(2)

13、a

14、－

15、b

16、≤

17、a＋b

18、；(3)

19、a

20、·

21、b

22、＝

23、a·b

24、；(4)＝

25、

26、(b≠0)．已知：

27、x－a

28、＜，

29、y－b

30、＜.求证：

31、(x＋y)－(a＋b)

32、＜c.提示：性质

33、a

34、·

35、b

36、＝

37、a·b

38、和＝

39、

40、(b≠0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出．因此，只要能够证明

41、a

42、＋

43、b

44、≥

45、a＋b

46、对于任意实数都成立即可．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用

47、a

48、≥a，

49、a

50、≥－a及绝对值的和的性质．证明：

51、(x＋y)－(a＋b)

52、＝

53、(x－a)＋(y－b)

54、≤

55、x－a

56、＋

57、y－b

58、.①∵

59、x－a

60、＜，

61、y

62、－b

63、＜，∴

64、x－a

65、＋

66、y－b

67、＜＋＝c.②由①②，得

68、(x＋y)－(a＋b)

69、＜c.专题五　含有绝对值的不等式的解法关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式．下面分别就这两类问题展开探讨．1．解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式．主要的依据是绝对值的定义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值，即

70、x

71、