高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式第2课时学案新人教a版选修4

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1、一不等式2.基本不等式1．了解两个正数的几何平均与算术平均．2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题．1．定理1如果a，b∈________，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当______时，等号成立．2．定理2(基本不等式)(1)定理2：如果________，那么≥，当且仅当________时，等号成立．(2)________称为a，b的算术平均，__________称为a，b的几何平均．(3)基本不等式可以表述为：两个正数的________不小于(即大于或等于)它们的________．(4)基本不等式的几何意义．直角三角形斜边上的______不小于斜边上的______．基本不等式

2、成立的条件：“一正、二定、三相等”．【做一做1－1】logab＋logba≥2成立的必要条件是(　　)A．a＞1，b＞1B．a＞0,0＜b＜1C．(a－1)(b－1)＞0D．以上都不正确【做一做1－2】下列各式中，最小值等于2的是(　　)A.＋B.C．tanθ＋D．2x＋2－x3．重要的不等式链设0＜a≤b，则a≤≤≤__________________≤≤b.【做一做2】下列结论中不正确的是(　　)A．a＞0时，a＋≥2B.＋≥2C．a2＋b2≥2abD．a2＋b2≥4．应用基本不等式求函数最值已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当______时，积xy取得最大

3、值________；(2)若xy＝p(积为定值)，则当且仅当______时，和x＋y取得最小值__________．基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律．【做一做3－1】设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．【做一做3－2】已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．答案：1．R　a＝b2．(1)a，b＞0　a＝b(2)　(3)算术平均　几何平均(4)中线　高【做一做1－1】　C　因为logab与logba互为倒数，符合基本不等式的结构．但两个数应是正数，所以a，b同时大于1或a，b都属于区间(0,1)．【做一做1－2】　D　∵2x＞0,2－x

4、＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．3.【做一做2】　B　选项A、C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的条件．4．(1)x＝y　(2)x＝y　2【做一做3－1】　3－2　y＝3－(3x＋)≤3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．∴ymax＝3－2.【做一做3－2】　　∵lgx＋lgy＝2，∴lg(xy)＝2.∴xy＝102.∴＋＝≥＝＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．认识基本不等式中的数a，b剖析：在利用基本不等式时，要准

5、确定位其中的“数”．例如在试题“已知2x＋y＝1，x，y∈R＋，求xy的最大值”中，“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2x＋y＝1”，而“x＋y”不是定值，因而要求xy的最大值应视作求(2x)·y的最大值，即xy＝(2x)·y≤×()2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．定位准确基本不等式中的“数”是使用基本不等式的大前提．再如：在“设实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，求ax＋by的最大值”中要求的“ax＋by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值．ax＋by≤＋＝＝2.但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基

6、本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是这与a2＋b2＝1和x2＋y2＝3矛盾．因此正确的解法应是三角换元法：令a＝cosα，b＝sinα，x＝cosβ，y＝sinβ，∴ax＋by＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝cos(α－β)≤，当且仅当cos(α－β)＝1，即α＝β时，等号成立．∴ax＋by的最大值是.题型一利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：(－1)(－1)(－1)≥8.分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，－1＝＝≥，可由此变形入手．反

7、思：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．题型二利用基本不等式求函数最值【例2】已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．分析：由x＜，可知4x－5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值．反思：在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：①首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出