高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式第2课时课堂探究学案新人教a版选修4

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1、1.1不等式2课堂探究认识基本不等式中的数a，b剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”．例如在试题“已知2x＋y＝1，x，y＞0，求xy的最大值”中，“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2x＋y＝1”，而“x＋y”不是定值，因而要求xy的最大值应视作求(2x)·y的最大值，即xy＝(2x)·y≤×2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．在基本不等式中，准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大前提．再如：在“设实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，

2、x2＋y2＝3，求ax＋by的最大值”中要求的“ax＋by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值．ax＋by≤＋＝＝2.但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是这与a2＋b2＝1和x2＋y2＝3矛盾．因此正确的解法应是三角换元法：令a＝cosα，b＝sinα，x＝cosβ，y＝sinβ，∴ax＋by＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝cos(α－β)≤，当且仅当cos(α－β)＝1，即α＝β时，等号成立．∴ax＋

3、by的最大值是.题型一利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，－1＝＝≥，可由此变形入手．证明：∵a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥.同理：－1≥，－1≥.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．反思用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其

4、变形式进行证明.题型二利用基本不等式求函数最值【例2】已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．分析：由x＜，可知4x－5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值．解：∵x＜，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时上式等号成立．∴当x＝1时，y的最大值为1.反思在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取

5、(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.题型三基本不等式的实际应用【例3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2013年某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2013年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的

6、售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2013年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2013年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：(1)两个基本关系式是解题的关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定

7、费用，∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.当销售x万件时，年销售收入为150%＋t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝(t≥0)．(2)y＝＝50－≤50－2＝50－2＝42，当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．反思解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模

8、型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．(4)作出问题结