高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式第1课时课堂探究学案新人教a版选修4

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1、1.1不等式1课堂探究1．使用不等式的性质时要注意的问题剖析：(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜ca＜c.(2)在乘法法则中，要特别注意乘数c的符号，例如当c≠0时，有a＞bac2＞bc2；若无c≠0这个条件，则a＞bac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．(3)a＞b＞0an＞bn＞0成立的条件是“n为大于1的自然数”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．2．不等式性质中的“”和“”

2、表示的意思剖析：在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0＜，而反之则包含几类情况，即若＜，则可能有a＞b，ab＞0，也可能有a＜0＜b，即“a＞b，ab＞0”与“＜”是不等价关系．3．文字语言与数学符号语言之间的转换剖析：文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤在数学命题中，文字语言的表述通常要“翻译”成相应的数学符号语言，只有准确地转换，才能正确地解答问题．

3、题型一不等式的基本性质【例1】若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)A．＜B．a2＞b2C．＞D．a

4、c

5、＞b

6、c

7、解析：本题只提供了“a，b，c∈R，a＞b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选项来进行判断．选项A，还需有ab＞0这个前提条件；选项B，当a，b都为负数时不成立．或一正一负时可能不成立，如2＞－3，但22＞(－3)2不正确；对于选项C，＞0，由a＞b就可知＞，故正确；选项D，当c＝b时不正确．答案：C反思对于考查不等式的基本性质的选择

8、题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等.题型二用作差法比较大小【例2】当a≠0时，比较(a2＋a＋1)(a2－a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．分析：比较两个数的大小，将两数作差，若差值为正，则前者大；若差值为负，则后者大．解：(a2＋a＋1)(a2－a＋1)－(a2＋a＋1)·(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－2a2－[(a2＋1)2－a

9、2]＝－2a2＋a2＝－a2.又∵a≠0，∴－a2＜0.∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＜(a2＋a＋1)·(a2－a＋1)．反思(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的步骤进行，即：―→―→―→，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中，若为几个因式的积，需对每个因式先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论.题型三利用不等式的基本性质求范围【例3】已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为___

10、_____________，的取值范围为______．解析：∵x－y＝x＋(－y)，∴需先求出－y的范围．∵＝x×，∴需先求出的范围．∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，＜＜.又∵60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜，即＜＜3.答案：(27,56)　反思本题不能直接用x的范围去减或除以y的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知

11、的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围.题型四易错辨析【例4】已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．错解：∵－≤α＜β≤，∴－≤≤，－≤≤，因而两式相加得－≤≤，又∵－≤－≤，∴－≤－≤，∴－≤≤.错因分析：在解答本题的过程中易出现－≤≤和－≤≤的错误，导致该种错误的原因是忽视了，都不能同时取到和－.正解：∵－≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤.因而两式相加得－＜＜.又∵－＜≤，∴－≤－＜，∴－≤＜.又∵α＜β，∴＜0，∴－≤＜0.即的取值范围为

12、，的取值范围为.反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．在使用不等式的性质中，如果是由两