高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式（第2课时）课后训练 新人教a版选修4-5

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1、1.1不等式2.基本不等式练习1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是(　　)A．B．C．6D．72．若x，y＞0，且x＋2y＝3，则的最小值是(　　)A．2B.C．D．3．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.4．已知不等式≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．2B．4C．6D．85．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这

2、两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处6．(2010山东高考，理14)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为________．8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖

3、长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a，b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)参考答案1.答案：D　3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥＝＝2×3＋1＝7，当且仅当x＝3y时，等号成立．2.答案：C　＝＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．3．答案：B　∵是3a与3b的等比中项，∴＝3a·3b，即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＝＝≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立．4.答案：B　＝≥＝，当且仅当＝时，等号成

4、立．∵≥9对任意正实数x，y恒成立，∴需≥9.∴a≥4.5.答案：A　设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝≥＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立，故选A.6.答案：　a≥＝.而≥2，∴的最大值为，∴a≥.7.答案：8　函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1，则×(2m＋n)＝＝2＋＋4·＋2≥4＋＝4＋4＝8.8.答案：[9，＋∞)　令＝t(t＞0)，则由ab＝a＋b＋3≥，得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.解得t≥3或t≤－1(

5、不合题意)．∴≥3.∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．9.解：x＋y＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝，当且仅当＝时取等号．又(x＋y)min＝＝18，即a＋b＋＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得或10．分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y.由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y＝.又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝最小．解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝，其中k为比例系数(k＞0)．又据题

6、设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)．∴y＝＝.令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2.从而＝＝＝，∴y＝≥＝.当且仅当t＝，即a＋2＝时取等号，∴a＝6.由a＝6可得b＝3.综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值．依题设2×2b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)．∵a＋2b≥(当且仅当a＝2b时取等号)，∴ab＋≤30，可解得0＜ab≤18.由a＝2b及

7、ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．