高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式(第3课时)课后训练 新人教a版选修4-5

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1、1.1不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式练习1.设x,y,z∈R+且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是(  )A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)2.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式总成立的是(  )A.V≥πB.V≤πC.V≥D.V≤3.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是(  )A.1B.2C.3D.44.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(  )A.B.C.12D.5.若a>b>0,则的最小值为(  )A.0B.1C.2D.36.函数y=4sin2x·

2、cosx的最大值为________,最小值为________.7.若正数x,y满足xy2=4,则x+2y的最小值为________.8.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤;②≥27;③a2+b2+c2≥;④ab+bc+ca≤.其中正确不等式的序号是________.9.如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值.10.已知a,b,c均为正数,证明≥,并确定a,b,c为何值时,等号成立.参考答案1.答案:B ∵lgx+lgy+lgz=l

3、g(xyz),而xyz≤=23,∴lgx+lgy+lgz≤lg23=3lg2,当且仅当x=y=z=2时,取等号.2.答案:B 如图,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤=π,当且仅当R=R=h=1时取等号.3.答案:C xy+x2=+x2≥===3.当且仅当=x2,即x=1,y=2时取等号.4.答案:C ∵2x>0,4y>0,8z>0,∴2x+4y+8z=2x+22y+23z≥==3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y=1,z=时,取等号.5.答案:D ∵a+=(a-b)+b+≥=3,当且仅当a=2,b=1时

4、取等号,∴a+的最小值为3.6.答案:  ∵y2=16sin2x·sin2x·cos2x=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤=8×=,∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±时取等号.∴ymax=,ymin=.7.答案: ∵xy2=4,x>0,y>0,∴x=,∴x+2y=+2y=+y+y≥=.当且仅当x=y=时等号成立,此时x+2y的最小值为.8.答案:①②③④ ∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥,0<abc≤=,≥27.从而①正确,②也正确,又1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2

5、+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2),∴a2+b2+c2≥,从而③正确,又2=2(a+b+c)2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+4ab+4bc+4ca≥2ab+2bc+2ca+4ab+4bc+4ca=6(ab+bc+ca),0<ab+bc+ca≤=,∴④正确.9.解:设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,由下图可有2h+=,∴h=,V=S底·h=6×·h==≤9×=.当且仅当==1-x,即x=时,等号成立.所以当底面边长为时,正六棱柱容器的容积最大,为.10.证明:因为a,b,c均为正数,由算术-几何平均不等式,得a2+b2+c2≥,①≥,所以≥.②

6、故a2+b2+c2+≥.又≥=,③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当=时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.

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