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《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式例题与探究 新人教a版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1.2基本不等式典题精讲【例1】若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_________.思路解析：已知条件中既有a,b的乘积又有它们的和，而要求的是ab的取值范围，因而需用基本不等式把a+b转化为乘积ab的不等式.∵ab=a+b+3,a,b为正数,∴ab≥+3,∴()2--3≥0.∴(-3)(+1)≥0.∴-3≥0.∴ab≥9.∴ab的取值范围是［9,+∞).答案：［9,+∞)绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的范围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，
2、视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件.【变式训练】若正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围是__________.思路解析：利用基本不等式的变形ab≤()2,使已知条件转化为不等式求解.方法一：∵ab≤()2,∴ab=a+b+3≤()2.∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0,∴［(a+b)-6］［(a+b)+2］≥0,∴a+b≥6或a+b≤-2（舍）.方法二：∵ab=a+b+3,∴b=>0,∴a>1.∴a+b=a+=a+1+,=(a-1)++2≥+2=6.当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号
3、.答案：［6+∞)【例2】若x,y是正数，则（x+）2+（y+）2的最小值是（）A.3B.C.4D.思路解析：本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x,y在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x=y时可取到最小值.方法一：∵将命题x,y的位置对调之后，命题的形式不变，∴取到最小值时，x=y,此时原式=2(x+)2≥=4,取“=”的条件为x=y=.方法二：(x+)2+(y+)2=(x2+)+(y2+)+(+)≥1+1+2=4,当x=y=时，式子取得最小值4.方法三：∵x>0,y>0,∴(x+)2≥.(y+
4、)2≥.∴(x+)2+(y+)2≥≥4.当且仅当y=且x=,且,即x=y=时取“=”号.答案：C绿色通道：本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求范围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式.这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“=”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“=”号时的x,y的值应该是相同的，否则最后的“=”号是取不到的，如方法三中用“y=且x=且”来限制“=”号.【变式训练】已知a,b∈R
5、+，a+b=1，求证：(a+)(b+)≥.思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a+b,去括号后可以出现利用基本不等式的数学结构ab+++,但其中+能用基本不等式，而ab+不能用，“=”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y=x+(x=ab)，求最小值，这要求求ab+的最小值用单调性法，而求+的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a,b的值.证明：设y=ab+，则(a+)(b+)=ab+++≥y+2(当a=2时，取等号)，因此，只要证y≥即可.设ab=x,x∈(0,］,则y=x+，且y=x+在（0,］上为减函
6、数.∴当x=时，ymin=，此时a=b=,∴ab+≥,∴(a+)(b+)≥.【例3】如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a,b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y=.又由于受箱体材料多少的限制，a,b之
7、间应有一定的关系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,当y=最小时，求a,b的值.解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=(k>0)，其中k为比例系数.又据题意设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，∴b=（由a>0,b>0,可得a<30）.∴y==.令t=a+2,则a=t-2,从而=≤34-=18,∴y=≥.当且仅当t=64t,即t=8,∴a=6时取“=”号.由a=6,得b=3.综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.
8、解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y=，其中k为比例系数，k>0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值.题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0),∵a+2b≥(当且
